Application inversible et changement de base

[Dylaa2n]

Bonjour à tous,

J'ai quelques questions à propos de l'inversibilité des applications linéaires et des changements de base et ce serait gentil de m'éclairer :happy2:

Tout d'abord, on dit qu'un application est inversible à gauche s'il existe une application linéaire appelée inverse de A à gauche telle que . Mais qu'est-ce que ce ? S'agit-il de la même chose que pour les matrices avec la matrice unité ?

Ensuite, en ce qui concerne les changements de base, je suis un peu dans le flou total car je ne comprends pas vraiment l'utilité de changer de base et la façon de procéder.. :help:


Merci beaucoup et joyeux noël à tous!

[BiancoAngelo]

Bonjour à tous,

J'ai quelques questions à propos de l'inversibilité des applications linéaires et des changements de base et ce serait gentil de m'éclairer :happy2:

Tout d'abord, on dit qu'un application est inversible à gauche s'il existe une application linéaire appelée inverse de A à gauche telle que . Mais qu'est-ce que ce ? S'agit-il de la même chose que pour les matrices avec la matrice unité ?

Ensuite, en ce qui concerne les changements de base, je suis un peu dans le flou total car je ne comprends pas vraiment l'utilité de changer de base et la façon de procéder.. :help:


Merci beaucoup et joyeux noël à tous!

Bonjour et joyeux noël

Déjà, représente l'identité de l'espace , c'est à dire l'application qui à tout élément de associe cet élément, i.e.

.

Evidemment, c'est une application linéaire :zen: et la matrice associée est bien sûr , avec .

Un changement de base, matrice ou pas matrice de toute façon, est je pense toujours utilisé pour obtenir des résultats simplifiés.
C'est illustré par le changement de variable par exemple, quand on dit "Posons X = x + 2", c'est juste pour changer de base en fait, et pouvoir travailler dans un espace où les calculs se font plus facilement... Pour ensuite repartir dans la base de départ et conclure !

[Dylaa2n]

Bonjour et joyeux noël

Déjà, représente l'identité de l'espace , c'est à dire l'application qui à tout élément de associe cet élément, i.e.

.

Evidemment, c'est une application linéaire :zen: et la matrice associée est bien sûr , avec .

Un changement de base, matrice ou pas matrice de toute façon, est je pense toujours utilisé pour obtenir des résultats simplifiés.
C'est illustré par le changement de variable par exemple, quand on dit "Posons X = x + 2", c'est juste pour changer de base en fait, et pouvoir travailler dans un espace où les calculs se font plus facilement... Pour ensuite repartir dans la base de départ et conclure !

Merci beaucoup! C'est plus clair maintenant :happy2:

[paquito]

Les changements de base doivent servir à quelque chose;plaçons nous dans R^2 et considérons la symétrie vectorielle d'axe porté par et de direction portée par ; dans la base ,la matrice de sera:


ce qui est beaucoup plus clair, mais débouche sur la notion de matrice de passage. Prenons un exemple:

M= on trouve rapidement et la matice de passage de la base dans la base sera :

P=


P^{-1}=

et on vérifie que =


Cet exemple un peu simpliste permet en fait de retrouver la matrice canonique d'une symétrie vectorielle en dimension 2; mais les applications vont être nombreuses, continuons en dimension 2:

Soit M=; il est facile de voir que vérifie et quevérifie .
Si l'on pose:P=
; on a
= et

=

A est une matrice diagonale et donc= et donc comme, on a

[Dylaa2n]

Les changements de base doivent servir à quelque chose;plaçons nous dans R^2 et considérons la symétrie vectorielle d'axe porté par et de direction portée par ; dans la base ,la matrice de sera:


ce qui est beaucoup plus clair, mais débouche sur la notion de matrice de passage. Prenons un exemple:

M= on trouve rapidement et la matice de passage de la base dans la base sera :

P=


P^{-1}=

et on vérifie que =


Cet exemple un peu simpliste permet en fait de retrouver la matrice canonique d'une symétrie vectorielle en dimension 2; mais les applications vont être nombreuses, continuons en dimension 2:

Soit M=; il est facile de voir que vérifie et quevérifie .
Si l'on pose:P=
; on a
= et

=

A est une matrice diagonale et donc= et donc comme, on a

Merci beaucoup pour l'explication! :happy2: