App de derivabilite+limite

[adamNIDO]

Bonjour,




merci pour votre aide

[Manny06]

Bonjour,




merci pour votre aide

voir théorème des accroissements finis généralisé et règle de l'Hôpital

[adamNIDO]

voir théorème des accroissements finis généralisé et règle de l'Hôpital

Théorème des accroissements finis généralisé

Ce théorème s'applique dans le cas de deux fonctions continues sur [a,b] , dérivables sur ]a,b[. Il assure qu'il existe un réel c de l'intervalle ]a, b[ tel que


Dans le cas où ne s'annule pas sur , l'égalité peut s'écrire


Sous cette forme, le théorème est appelé théorème de la moyenne de Cauchy. Il peut être utilisé pour démontrer la règle de L'Hôpital.

la règle de L'Hôpital

la règle qui apparaît est celle communément utilisée dans le cas de deux fonctions dérivables en a et telles que le quotient soit défini :

: Si f et g sont deux fonctions définies sur , dérivables en a, s'annulant en a et telles que le quotient soit défini, alors .

si vous pouvez me proposer une redaction de solution je serais reconnaissant

[zygomatique]

salut

soit h(x) = [f(b) - f(a)]g(x) - [g(b) - g(a)]f(x)

alors

h est continue et dérivable sur ]a, b[

h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b)

h(b) = - f(a)g(b) + g(a)f(b) = h(a)


le théorème de Rolle permet donc de conclure ....

[adamNIDO]

demonstration d'apres wikipedia

:Généralisant l'idée précédente qui correspondait au cas particulier , on applique le théorème de Rolle à la fonction

h(t)=(g(b)-g(a))f(t)-(f(b)-f(a))g(t).

La fonction h est bien continue sur et dérivable sur , et . Il existe donc un réel de tel que , ce qui donne

: Si de plus ne s'annule pas sur , par contraposée du théorème de Rolle, on peut affirmer que et il suffit de diviser par ces deux quantités pour obtenir

[adamNIDO]

est ce que la demonstration que j'ai fais est juste et pour les autres questions

[adamNIDO]

pour la question 2


comme alors

or alors