[Prepa économique] Plusieurs questions sur des app.linéaire.

[JeromeDUL]

Bonsoir,

Le professeur exerce ceux qui le souhaitent à des exercices de mathématiques niveau parisienne. J'ai bien réussi les premiers exercices mais j'ai beaucoup de mal avec le dernier. C'est d'un niveau prépa économique, donc cela pourra vous sembler (très) facile.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et B = (e1, e2, . . . , en) la base canonique de
Soit v un vecteur donné de de coordonnées v1, v2, . . . , vn dans la base B et qui vérifie
Soit f l’application définie sur qui à tout vecteur x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ , associe le vecteur f(x) défini par :


1. (a) Montrer que f est un endomorphisme de R^n
(b) Montrer que f°f = f

Pour la question a :

J'ai réussi à montrer que f est une application linéaire, mais alors je ne comprends pas comment je peux procéder pour montrer qu'il s'agit d'un endomorphisme.

Pour la question b :

Edit : supprimé

Je suis désolé si ce n'est pas claire, c'est la première fois que j'utilise un éditeur d'équation. Merci beaucoup pour le temps que vous m'accorderez !

Bonne soirée.

[Ben314]

Salut,
Pour la a), c'est complètement couillon : un endomorphisme, c'est (par définition) une application linéaire d'un espace vectoriel E dans lui même. Donc si tu as montré que f est une application linéaire, ben c'est fini vu que f va bien de E=R^n dans R^n.

Sinon, pour le b), c'est pas mal du grand n'importe quoi.
Si tu veut comprendre ce que donne en restant le plus basique possible, à mon avis, le truc à bien écrire proprement, c'est ça :
Si c'est quoi les différents par rapport aux ?
Ensuite, tu pose , tu applique la même "recette" trouvée précédemment pour écrire les en fonction des , puis tu écrit ces mêmes en fonction des et tu aura ta réponse concernant "qui" est .

Y'aurais évidement moyen de faire bien plus court (et plus théorique) en introduisant la forme linéaire mais vu le charabia que tu as écrit, ça me semble plus judicieux de rester le plus terre à terre possible.

[JeromeDUL]

Merci beaucoup !
J'ai du mal à comprendre votre conseil :

c'est quoi les différents par rapport aux

? et ?
Donc

Est-ce que le fait que ça soit un endomorphisme ne m'aiderait pas ? Je ne vois vraiment pas...


EDIT : Oups vous avez édité votre message, je regarde tout de suite !

[JeromeDUL]

Est-ce que ça ne serait pas :

ou alors
Et donc : ?? Ca revient pas au n'importe quoi que je faisais déjà précédemment ?

[Ben314]

Déjà, d'écrire , ça a pas de sens. L'application elle va de dans donc quand on applique à quelque chose, le quelque chose ça doit être un élément de , c'est à dire un n-uplet de réels et pas un réel.
De même, le résultat du f(quelque chose), c'est un élément de et pas un réel.

Ensuite, si (où là, le symbole à lui tout seul désigne bien un n-uplet de réels alors que les différents désignent eux des réels) et si on pose (qui est un réel) alors la définition de te dit que (où lui, c'est un n-uplet de réels) c'est à dire

avec .

Ensuite, si on recommence, on a avec la même formule, c'est à dire que, si si on pose , alors

Et arrivé à ce point, ben le premier truc à faire, c'est de regarder combien vaut en fonction de .