Anneaux et binôme de newton?

[Unknown16294]

Salut tout le monde!! :happy2:
je suis nouvelle sur ce forum et j'ai une petite question qui m’embête et je veux bien la partager avec vous. :mur:
Est qu'on peut généraliser la binôme de newton pour n'importe quel anneau même s'il ne contient pas les entiers naturels?
Et si la réponse est oui; pourquoi on aura besoin d'une loi de composition externe et d'espace vectoriels?
Merci d'avance pour vos réponse.

[Anneauprincipal]

Bonjour,

La formule est vraie si les deux éléments commutent, quel que soit l'anneau.
L'anneau n'a pas à contenir les entiers naturels, en fait par définition :

2.X=X+X 3.X=X+X+X etc... La notation faisant apparaitre un entier naturel est donc simplement une notation.

Par contre je ne comprends pas votre question avec les ev : on a pas besoin d'une structure d' ev et écrire la formule dans un ev n'a pas de sens puisqu'on ne "multiplie" pas deux vecteurs.

[Sylviel]

petit complément :
la formule étant vraie si les deux éléments commutent elle est en particulier vraie si :
- l'un des deux est l'élément neutre (ex la matrice identité)
- l'anneau est commutatif

ce sont les deux cas les plus courant d'application du binôme.

[Unknown16294]

Bonjour,

La formule est vraie si les deux éléments commutent, quel que soit l'anneau.
L'anneau n'a pas à contenir les entiers naturels, en fait par définition :

2.X=X+X 3.X=X+X+X etc... La notation faisant apparaitre un entier naturel est donc simplement une notation.

Par contre je ne comprends pas votre question avec les ev : on a pas besoin d'une structure d' ev et écrire la formule dans un ev n'a pas de sens puisqu'on ne "multiplie" pas deux vecteurs.

Ce que je veux dire c'est que si on peut rassembler deux éléments de différent ensembles par la loi multiplication alors cette dernière ne restera plus une loi de composition interne et l'anneau sera donc un espace vectoriel.

[Sylviel]

Ce que je veux dire c'est que si on peut rassembler deux éléments de différent ensembles par la loi multiplication alors cette dernière ne restera plus une loi de composition interne et l'anneau sera donc un espace vectoriel.

J'ai surtout l'impression que tu mélanges tout là.

[Unknown16294]

J'ai surtout l'impression que tu mélanges tout là.

Bah je sais; Mais c’est notre prof qui nous a fait cette remarque.