Anneau non factoriel

[brouversliet]

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'anneau n'est pas factoriel.

Pour cela, on introduit , on montre que et que est inversible dans si et seulement si .

On considère ensuite et on montre que , et sont irréductibles (en utilisant ).

On obtient donc deux décompositions en irréductibles distinctes. Cependant, dans la définition d'anneau factoriel, on dit que la décomposition est unique "à inversible près". Je ne vois pas trop ce que signifie "réellement" cette condition et comment l'appliquer "concrètement" dans ce cas précis.
En clair, comment justifier proprement que ces deux décompositions sont bien distinctes et non "égales modulo inversible" ?

Merci d'avance !

[GaBuZoMeu]

L'élément du corps de fractions n'appartient pas à : l'élément irréductible n'est pas associé à l'élément irreductible , l'un n'est pas le produit de l'autre par un inversible de .

[jsvdb]

Bonjour brouversliet.
La question à te poser est : " est-ce que est associé à ou à ".
Si la réponse est non, c'est que 9 admet bien deux décomposition distinctes non associables.

Par exemple, dans , 9 admet deux décompositions qui sont 3*3 et (-3)*(-3).
Les inversibles de sont 1 et -1.
Donc les deux seules décompositions de 9 dans sont "fabriquées" avec des éléments associés.

[brouversliet]

Ok, merci !