Anneau factoriel non principal

[brouversliet]

Bonjour,

Je dois montrer que est factoriel mais non principal.

Pour le fait qu'il soit factoriel, pas de problème particulier (il suffit de l'écrire sous la forme et de dire que l'anneau des polynômes à coefficients dans un anneau factoriel est factoriel).

Pour voir qu'il n'est pas principal, on nous dit de considérer l'idéal . Mais je n'arrive pas à monter que cet idéal ne peut pas être principal...

[GaBuZoMeu]

Existe-t-il un polynôme dans l'idéal qui divise à la fois et ?

[brouversliet]

Bah j'imagine que non, vu que l'on doit montrer que l'idéal n'est pas principal...

Mais je ne comprends pas la différence avec par exemple l'idéal dans , qui lui est forcément principal, puisque est principal (car euclidien)...
Je ne vois pas non plus de polynôme qui diviserait à la fois et .

Je ne vois pas pourquoi ne serait pas principal dans alors que par exemple est principal dans ...

D'autant plus que l'idéal nous est aussi donné comme exemple d'idéal non principal mais cette fois dans ...

[GaBuZoMeu]

Je ne vois pas non plus de polynôme qui diviserait à la fois et .

M'enfin ?? (ça vaut sur , pas sur , bien sûr).