Caractérisation d'un anneau factoriel

[Nightmare]

Salut à tous,

on a revu la notion d'anneaux factoriels en cours aujourd'hui, j'ai posé la question suivante qui n'a pas su trouver réponse auprès du prof :

La coïncidence entre les éléments premiers et irréductibles est-elle caractéristique d'un anneau factoriel?

Posée autrement : Un anneau dans lequel les éléments premiers sont exactement les irréductibles est-il nécessairement factoriel?

Je sais que la réponse est non car l'une des définitions d'un anneau factoriel prend cette coïncidence en axiome en plus d'ajouter celui de l'existence (sans l'unicité) d'une décomposition, mais je n'arrive pas à exhiber de contre exemple.

En voyez-vous un?

[Luc]

Salut!

On est d'accord que la définition que l'on prend pour un anneau factoriel A est
1) A est intègre,
2) (E) tout élément non nul a s'écrit comme un produit avec u inversible et les irréductibles (non distincts).
3) (U) une décomposition comme dans (E) est unique, à permutation près des facteurs et aux
éléments inversibles près.
?

J'ai un peu de mal a faire le tri entre toutes les propriétés différentes que peut avoir un anneau intègre. En plus il y a une terminologie anglaise, et une terminologie française et on peut vite s'embrouiller entre les deux...
Il faut chercher un anneau non factoriel, donc on peut déjà dire adieu aux anneaux de polynômes sur un anneau factoriel.
En fait il me semble que si l'on prend un anneau a pgcd non factoriel (encore faut-il l'exhiber), ça marche.

[Nightmare]

D'accord avec ta définition, et en fait la raison pour laquelle je pense qu'il existe un contre exemple, c'est que j'ai vu dans un bouquin la condition 3) remplacée par " 3) Les éléments premiers sont exactement les irréductibles ".

Autrement dit, un anneau est factoriel si et ssi :

1) Il est intègre

2) Les éléments ont une décomposition en irréductible à inversible près

3) Les irréductibles sont premiers

Si 3) (+ l'intégrité) était caractéristique d'un anneau factoriel, on aurait pas besoin de rajouter le 2).

[Luc]

Bel exemple : l'anneau des fonctions holomorphes sur C (fonctions entières).
J'ai lu que ça marchait, reste a le vérifier.
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/holomorphe.pdf
Tiens, comme par hasard une reference d'agreg :id:

Il y a aussi l'anneau des entiers algébriques.

En tout cas ce ne sont pas du tout des exemples pathologiques.

[Nightmare]

Je ne connaissais pas les "anneaux à PGCD". J'imagine que c'est un anneau dans lequel tout couple d'élément a un PGCD?

Si c'est le cas alors effectivement, vu qu'on a des PGCD, on a le lemme de Gauss et les irréductibles sont nécessairement premiers.

Cela dit, je ne vois pas non plus d'anneau non factoriel à PGCD...

Edit : J'avais pas vu tes exemples, je regarde ça

[wserdx]

Wikipedia donne l'exemple de qui n'est pas factoriel car

Je dirais donc que dans un anneau non factoriel il existe un irréductible non premier.
Par contraposé, si tout irréductible est premier, l'anneau est factoriel.
(je ne suis pas sûr de répondre à ta question...)

[Luc]

Wikipedia donne l'exemple de qui n'est pas factoriel car

Ok, on utilise donc la non unicité de la décomposition de 4 en facteurs irréductibles pour montrer que n'est pas factoriel.

Je dirais donc que dans un anneau non factoriel il existe un irréductible non premier.

La je ne te suis plus. De quel irréductible est-il question dans l'exemple?

Par contraposée, si tout irréductible est premier, l'anneau est factoriel.
(je ne suis pas sûr de répondre à ta question...)

On a montré (Il existe un irréductible non premier ) => l'anneau est non factoriel.
La contraposée, c'est Anneau factoriel => Tout irréductible est premier. Cette propriété découle de la définition d'un anneau factoriel.
Nightmare s’intéresse a la réciproque, qui apparemment est fausse.

[Nightmare]

Je suis ok avec tes exemples. La preuve pour H(C) dans ton lien est clair et pour les entiers algébriques c'est pas dur à montrer.

Niquel, il faut l'envoyer à Hauchecorne pour la prochaine édition des contre-exemples en maths.

(Au passage, tu as été remercié et eu droit à ton nom au tableau aujourd'hui pour l'apport culturel sur les nombres de Bell. Dommage que tu n'étais pas là pour ton moment de gloire :lol3: )

:happy3:

[wserdx]

J'ai supposé que dans cet exemple, 2 est irréductible (mais sans pouvoir le démontrer...)
de même que et

[Luc]

J'ai supposé que dans cet exemple, 2 est irréductible (mais sans pouvoir le démontrer...)
de même que et

Ce n'est pas très difficile de montrer que 2 est irréductible dans :
On suppose que
Par égalité des modules , donc ou a^2+3b^2=1 et c^2+3d^2=4 ou et .
Le premier cas est impossible dans . Le deuxième implique a=1, b=0, c=2 et d=0. Le troisième est le symétrique du deuxième.
1 est inversible, donc 2 est bien irréductible.

[Nightmare]

Pour démontrer que 2 est irréductible, on peut regarder sa norme par exemple :

Si 2=ab, 4=N(2)=N(ab)=N(a)N(b)

On peut démontrer facilement qu'aucune norme ne peut valoir 2, si bien qu'au moins l'un des deux parmi N(a) et N(b) vaut 1 (et l'autre 4), donc que a ou b est inversible.

Edit : Cf post de luc ci-dessus!

[Luc]

Edit : Cf post de luc ci-dessus!

Ton post est plus général :we:

Est-ce que l'existence d'une norme euclidienne suffit a montrer que l'anneau est euclidien? (cf la méthode pour montrer que l'anneau des entiers de Gauss est euclidien)

[Nightmare]

Qu'est-ce que tu appelles norme euclidienne? J'en trouve pas de définition autre que celle usuelle pour l'EVN R^n.

Edit : Ah si, je viens de trouver [url="http://gwendal.haudebourg.free.fr/maths/pdf/anneaux.pdf"]ce pdf[/url] qui donne la déf (et répond à ta question)

J'ai toujours utilisé le mot (affreux) "stathme" pour ce que tu appelles norme euclidienne.

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
Moi aussi, je suis un peu perdu devant ces deux notions : irréductibilité et primalité dans un anneau.
Est ce que les deux notions : irréductibilité et primalité coïncident dans un anneau factoriel ? Et qui est le plus général ?
Je n'ai pas tout lu, j'ai juste lu les deux premiers postes de ce fil.
Merci d'avance. :happy3:

[Nightmare]

Oui elles coïncident, c'est une conséquence du lemme de Gauss.

[Luc]

Qu'est-ce que tu appelles norme euclidienne? J'en trouve pas de définition autre que celle usuelle pour l'EVN R^n.

Edit : Ah si, je viens de trouver [url="http://gwendal.haudebourg.free.fr/maths/pdf/anneaux.pdf"]ce pdf[/url] qui donne la déf (et répond à ta question)

J'ai toujours utilisé le mot (affreux) "stathme" pour ce que tu appelles norme euclidienne.

Oui c'est un abus de langage de ma part.

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3:
Comment montrer qu'un élément premier, est irréductible, en utilisant les définitions ? La réciproque est fausse bien sûr.
Voici ce que j'ai trouvé : http://fr.wikipedia.org/wiki/Primalit%C3%A9_dans_un_anneau
Merci d'avance.