Angles de droites

[mathelot]

bonjour,

j'identifie les angles de vecteurs (ou de demi-droites) à la matrice de rotation dans une
base orthonormée i,j:

(a,b) réels.



comment définir les angles de droites dans un tel contexte ?


en réfléchissant, je devrais quotienter par la matrice "angle plat"


merci.

[barbu23]

Bonjour mathelot :

Qu'entends tu par angles de "droites" ?
Pour une matrice de rotation entre un vecteur et son image par la rotation , définie par la matrice : , désigne l'angle entre les deux vecteurs ( le vecteur de départ,et son image par la rotation : ).

Cordialement. :happy3:

[mathelot]

de fait, quand on trace deux droites (pas deux demi-droites)
il y a deux arcs de cercles pour joindre D1 à D2, de mesure
et l'autre

comme on ne privilégie pas un arc plutôt que l'autre, on trouve du "modulo pi"
donc je dois quotienter le groupe des angles par l'angle plat qui est d'ordre 2, nan ?

[barbu23]

Je ne sais pas, franchement. :hum:
Le groupe des angles est : , non ?
Donc, tu quotientes par : pour obtenir : ? Mouaiii ... :hein:
Pourquoi un élément de est d'ordre ?

[Robic]

Mathelot : quand tu identifies les angles à la matrice de la rotation associée, tu vas identifier la somme des angles au produit des matrices de rotation, n'est-ce pas ? (Et non pas à la somme des matrices, puisque la rotation de a+b est donnée par le produit des matrices de rotation). Du coup la matrice que tu proposes n'est pas celle qui permet de passer de l'angle a à l'angle Pi - a mais celle qui permet de passer de l'angle a à l'angle Pi + a. (Correction : or Pi + a = a + Pi est bien l'autre angle de demi-droite qui donne le même angle de droite.)

Après avoir fait quelques dessins, je ne crois pas qu'il existe une transformation qui permet d'obtenir la rotation d'angle Pi - a en la composant avec la rotation d'angle a pour tout vecteur (en gros, si j'appelle la rotation d'angle a, v un vecteur, et f la transformation cherchée telle que , eh bien f dépend de v). (Correction : Du coup ça tombe bien, puisque ce n'est pas cette rotation qu'il faut obtenir...)

[mathelot]

donc je peux quotienter ces matrices de rotation par (pour obtenir du modulo Pi) ?

exemple: un angle de 30° entre deux droites, c'est aussi -30°=150° modulo pi

[barbu23]

Si tu quotientes par , ça donne : . Pourquoi tu dis qu'il est d'ordre ? C'est un groupe continue ( Un groupe de Lie ). Pourquoi devrait-il avoir un ordre ?.

[mathelot]

Pi , l'angle plat, qui est l'application -Id, me semble être d'ordre 2.

[Robic]

Voici comment je comprends le truc.

1) Point de vue des angles : a ~ a' ssi a' = a ou a' = Pi - a (Correction : ou a' = a + Pi).

2) Point de vue des matrices de rotation : ssi donc ssi . Or la matrice n'existe pas. (Correction : ssi donc ssi et tu as raison.)

[chan79]

bonjour,

comment définir les angles de droites ?


.

Salut
Ca doit être un truc de ce genre
soit une droite ayant comme vecteur unitaire
soit une droite ayant comme vecteur unitaire
L'angle orienté est la classe modulo de l'angle de vecteurs
autrement dit:
Pour un angle de demi-droites, il y a une rotation associée.
Pour un angle de droites, il y a deux rotations dont les angles diffèrent de

[mathelot]

.............................

[barbu23]

Il faut plutôt considérer la relation d'équivalence :

Ensuite, considérer une autre relation d'équivalence :
tel que :
avec : le morphisme de groupes ( la rotation ) : définie par : , telle que : a pour noyau : . Dans ce cas là : . C'est probablement : . Mais, je n'ai pas encore fait le calcul. :happy3:

[mathelot]

il s'agit d'angles ,orientés, de droites:

imaginons qu'on parcourt pour aller de D1 à D2 selon un arc de cercle.

Il est clair que pour aller de D1 à D2 de l'autre côté,
on parcourt l'angle géométrique .
Seulement, cet angle là est de sens opposé à il vaut donc

finalement , définir un angle orienté de droites,
c'est confondre et

au niveau composée de rotations, on s'autorise à composer par et donc on identifie la matrice A et la matrice -A

est-ce correct ?

merci d'avance.

[paquito]

Les angles de droites sont définis par un couple d'angles de demi- droites donc par un couple de rotations vectorielles qui vérifient. on peut donc définir une application de l'ensemble des angles de droites dans l'ensemble des angles de demi droites définies par .

Si mes souvenirs sont bons, cela permet d établir un isomorphisme du groupe des angles de droites dans celui des angles de demi droites.

[barbu23]

imaginons qu'on parcourt pour aller de D1 à D2 selon un arc de cercle.

Il est clair que pour aller de D1 à D2 de l'autre côté,
on parcourt l'angle géométrique .
Seulement, cet angle là est de sens opposé à il vaut donc

de fait, quand on trace deux droites (pas deux demi-droites)
il y a deux arcs de cercles pour joindre D1 à D2, de mesure
et l'autre

comme on ne privilégie pas un arc plutôt que l'autre, on trouve du "modulo pi"

Pour aller de D1 à D2 de l'autre coté, on parcourt l'angle géometrique : .

[Robic]

Pour moi le truc est impossible. J'ai peur de ne pas avoir été clair, mais il suffit de faire un dessin pour voir que la rotation voulue n'existe pas (déjà, c'est une symétrie axiale). (Correction : n'importe quoi ! - voir ci-dessus.)

Si la matrice A est une matrice de rotation d'angle a, la matrice -A est la matrice de rotation d'angle a+Pi (correction : c'est pile poil ce qu'il faut donc tout va bien). Les matrices A et -A vont donc s'identifier à l'angle a modulo Pi, c'est insuffisant (Correction : ben si !).

[barbu23]

Bonsoir,

Si je comprends bien la question, tu cherches à identifier un élément et son symétrique axiale : par la relation d'équivalence :
, alors, il me semble qu'il est impossible de trouver une bijection entre la classe : et par cette relation d'équivalence. Pour s'en convaincre, il suffit de chercher telle que : pour tout . ça n'existe pas si on croit les dires de Rodic.
est la matrice symétrie axiale.

Cordialement.

[barbu23]

Robic a raison, parce que une symétrie axiale n'est pas invariante par rotation. :happy3:
Pourriez vous me dire quelle est la matrice correspondante à une symétrie axiale svp ? ( Je ne me souviens pas de sa forme :hum: )
Merci d'avance. :happy3:

[mathelot]

http://hpics.li/2b2c6f9

je vois mal où se glisse la symétrie axiale que vous évoquez ?

[barbu23]

:
Donc, : .
Donc, on ne peut pas identifier et par rotation : .
En d'autres termes, il n'existe pas de correspondance bijective, entre : et .