Analyse : Primitives

[Etonnai]

Bonsoir, je souhaiterais de l'aide pour mon exercice dont l'énoncé est le suivant :

Soit =a+ib avec b=Im()

Déterminer les primitives de f(x)=

sur R.


Pour ce faire j'ai procéder par changement de variable en posant X= x -
J'obtient f(x)=1/X les primitives sont ln(X)+C une constante appartenant à R

J'ai ensuite remplacer le X : ln(x- )+C=ln(x-a+ib)+C
Or ceci représente les primitives dans C alors qu'il me les faut dans R, donc il faudrait que b=0 pour faire disparaître le i, mais l'énoncé nous dit l'inverse .
J'ai donc pensé à utiliser la constante pour faire disparaître le i avec une constante sous la forme ln(i qqchose)
Pour utiliser la propriété du logarithme népérien : ln(Y)+ln(Z)=ln(Y*Z)
Je n'arrive pas à aller plus loin, je remercie d'avance toute éventuelle aide, et confirmation que j'utilise la bonne méthode ou non.

[Ben314]

Salut,

...=ln(x-a+ib)+C

Dans toute ta prose, tu écrit des ln(...) où ce qu'il y a dans la parenthèse est un nombre complexe.

Tu peut me donner la définition de ce que tu entend par là (i.e. de ce qu'est le logarithme népérien d'un nombre complexe) s'il te plait ?

Et une fois que tu m'auras donné cette définition, pourra tu me rappeler comment on démontre cette propriété :

ln(Y)+ln(Z)=ln(Y*Z)

dans le cas où X,Y,Z sont des complexes ?

[Etonnai]

Salut Ben,
J'ai oublié mes valeurs absolus dans mes logarithmes népériens déjà ...
Je pense que j'ai utiliser cela, mais je n'ai jamais pas vraiment vue les logarithmes complexes, du moins pas encore absolument.
Sur Wikipédia j'ai trouvé cette définition que je comprend
Soit Ln le logarithme qu'on appellera détermination principale du logarithme complexe par :
Ln(z)=ln(z)+i Arg(z)
Où ln représente le logarithme népériens des réels
Pour ce qui est de ma propriété utilisé elle n'est plus valable pour les complexes...

Donc, tu penses que je dois passer par ce logarithmes népériens des complexes, ou encore utiliser une autre méthode ? Si je dois passer par le logarithmes népériens complexes pourrait tu m'aider car c'est la première fois que j'en manipule ...

[Ben314]

A mon sens, quand y'a un truc qu'on connait pas, ben on utilise pas : ça permet par exemple d'éviter d'écrire des c... du style ln(AxB)=Ln(A)+ln(B) qui ne sont fausses pour les complexes.

Là, ça va effectivement rendre le truc pas mal plus compliqué vu qu'évidement, une fois qu'on maitrise parfaitement les logarithmes complexes (il y en a plusieurs...) on a comme résultat que les primitives de x->1/(x+a) avec x réel et a complexe sont les fonctions x->ln(x+a) où ln est une des fonction logarithme définie sur la droite {x+a : x dans R}.

Bref, a mon avis, ce qui est attendu, c'est que tu écrive f(x)=1/(x-a-ib) sous la forme g(x)+i.h(x) où g et h sont des fonctions de R->R puis que tu cherche les primitives de g et de h.

[Etonnai]

J'obtient g(x)= x - a donc G(x)= (x²/2)-ax
et h(x)=-b donc H(x)=-bx

J'ai donc f(x)=1/(g(x)+i h(x))
J'obtient F(x)= ? Je n'arrive pas à voir comment faire ? Il faut que je repasse par le ln ou ce n'est plus la peine , si tu pouvais m'aider à le terminer jusqu'au bout j'aimerais le finir ce soir stp

[Ben314]

(évidement, les dénominateurs ne sont jamais nuls vu que, par hypothèse, )

Une primitive de est

Une primitive de est
(Rappel : par hypothèse, )

Donc une primitive de est

[Etonnai]

Je venais de trouver ça sauf que pour le Arctan je n'y avais pas pensé, au moins sa confirme mes résultats, merci pour tes astuces et ton aide!
Une dernière question pas besoin de mettre + C à la fin de F(x) du fait que a,b sont des constantes variables entre 0 et +inf ?