Primitives ?

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quaresma
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Primitives ?

par quaresma » 16 Fév 2008, 18:04

Bonjour à tous,
est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire pour determiner une primitive d'une fonction car je n'ai pas très bien compris ?

Par exemple en se basant sur cet exemple qui est assez simple (il parait :hum: ):

f(x)=2/(x+1)

Puis m'expliquer plus en "profondeur" en calculant des primitives plus difficiles...

Merci pour votre aide :++:



Joker62
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par Joker62 » 16 Fév 2008, 18:11

Le principe c'est de chercher une fonction F telle que quand on la dérive, on tombe sur la fonction en question :)

Le secret ?
Apprendre son cours, avoir une certaine vision dans l'espace, savoir passé des dérivée au fonction et des fonctions au dérivée sans problème, savoir reconnaitre les formes, s'entraîner beaucoup !

Ici la fonction f, est de la forme u'/u(on place le 2 devant pour avoir la forme souhaitée) avec u = x+1
u' = 1
qui s'intégre en ln( |u| )

En grosssss, on s'arrange pour trouver une forme connue ! :)

busard_des_roseaux
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méthodes de calcul des primitives

par busard_des_roseaux » 16 Fév 2008, 20:15

bjr,

Le thm du calcul intégral, découvert par Leibnitz, relie
le calcul d'aire (quadrature) et la recherche de primitive par la
formule:



quelques méthodes de calcul de primitives

- l'intégration par parties:



- le changement de variable bijectif :

Il doit appliquer un intervalle sur un autre, être continuement différentiable
(à dérivée continue) ainsi que sa fonction réciproque, propriété
que l'on oublie de vérifier sauf en cas d'ennui :zen:



on pose t=sin(u)
dt = cos(u) du



- autre exemple:


on pose




quaresma
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par quaresma » 16 Fév 2008, 20:27

OK celle-ci etait un peu simple en effet.

Prenons cet exemple :

Pouvez-vous me montrer la démarche à suivre pour trouver une primitive de cette fonction ?

MERCI BCP

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 16 Fév 2008, 20:32

quaresma a écrit:Pouvez-vous me montrer la démarche à suivre pour trouver une primitive de cette fonction ?
MERCI BCP



oui, volontiers.


On remarque que la dérivée de
est
cad du numérateur

On pose donc

et la primitive devient:



Là le "changement de variable" n'est pas bijectif et l'on doit plutôt
considérer ceçi comme la primitivation de

Taupin
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par Taupin » 16 Fév 2008, 21:28

Le changement de variables ne doit être bijectif que dans les cas des intégrales généralisées sur un segment quelconque ;)

quaresma
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par quaresma » 16 Fév 2008, 22:59

Taupin a écrit:Le changement de variables ne doit être bijectif que dans les cas des intégrales généralisées sur un segment quelconque ;)


En francais ca donne quoi ? :marteau:

quaresma
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par quaresma » 16 Fév 2008, 23:01

busard_des_roseaux a écrit:oui, volontiers.


On remarque que la dérivée de
est
cad du numérateur

On pose donc

et la primitive devient:



Là le "changement de variable" n'est pas bijectif et l'on doit plutôt
considérer ceçi comme la primitivation de


Ya pas une methode plus simple sans passer par une intégrale ? :cry:

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 16 Fév 2008, 23:49

quaresma a écrit:En francais ca donne quoi ? :marteau:


intervalles quelconques: éventuellement de longueur infinie.

intégrales généralisées:

la fonction n'est pas supposée intégrable (cad de module intégrable)
mais seulement que

existe.

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 17 Fév 2008, 00:06

quaresma a écrit:Ya pas une methode plus simple sans passer par une intégrale ? :cry:


bah si.

Il suffit, au début, de considérer toutes les formules
de dérivation que l'on connait:







etc..


et de les écrire en sens inverse.

quaresma
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par quaresma » 17 Fév 2008, 00:55

Décidement je ne comprend pas bien...

Et pour celle-ci comment feriez-vous ?



MERCI

D'après le site qui donne les resultats, ca donne ca :


busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 17 Fév 2008, 01:20

on va essayer d'expliquer :doh:

Disons pour simplifier que se donner une fonction f ou une courbe du plan
, c'est équivalent.

1er point
f , fonction continue, sur un intervalle I d'intérieur non vide, admet une primitive F .

F est une fonction dérivable sur I et F'=f.

2ème point
On a plein de méthodes d'analyse numérique (AN), de méthodes de calcul qui permettent de mesurer les aires des domaines compris entre la courbe , l'axe horizontal et les droites verticales d'équation X=a et X=b.

Avec une approximation aussi précise que l'on veut.

Le théorème fondamental du calcul intégral relie ces deux notions par la formule:



la fonction est dérivable et sa dérivée vaut f(x). C'est donc une primitive de f.


exemple:

on pose u=ln(t+1)



:dodo:

Nightmare
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par Nightmare » 17 Fév 2008, 01:24

Bonsoir,

les primitives, c'est du mécanisme. Tu en fais, tu en refais et tu en rerefais. Au bout d'un moment tu te retrouveras devant une fonction à primitiver et là tu te diras "ben ça c'est facile c'est de la forme ... donc on intègre par telle méthode".
Mais il est clair que si tu ne sais pas primitiver x->2/(x+1), ne te précipite pas sur des fonctions du type x->ln(x+1)/(x+1). Ce n'est pas difficile à intégrer certes, mais il faut déjà avoir une certaine aisance avec les primitives, et encore plus avec les dérivées (car certains ne verraient pas au premier coup d'oeil qu'au final c'est de la forme u.u' (d'ailleurs notre ami busard_des_roseaux ne l'a pas vu :lol2:) dont une primitive est 1/2 u²)

Edit: Busard je rigole bien sûr, je ne mets pas en doute tes capacités calculatoires, surement plus évoluées que les miennes, tout comme tes connaissances mathématiques.

:happy3:

atito
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par atito » 17 Fév 2008, 01:25

quaresma a écrit:Décidement je ne comprend pas bien...

Et pour celle-ci comment feriez-vous ?



MERCI


f(x) = 2 + g(x) * g'(x)

En tout cas comme s'est dit avant il y a plusieurs méthodes donc pratique avec un peu de concentration comme dab ;-)

quaresma
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par quaresma » 17 Fév 2008, 01:27

on va essayer d'expliquer :doh:


MERCI :id:

F est une fonction dérivable sur I et F'=f.


OK pour ca j'avais compris

Le théorème fondamental du calcul intégral relie ces deux notions par la formule:



la fonction est dérivable et sa dérivée vaut f(x). C'est donc une primitive de f.


Je connais aussi ;)

exemple:

une intégration par parties donne


Nous ne faisons pas d'integration par partie.
Seul ceux qui ont pris l'option match sup vont le faire.
Moi je reste au primitive de base et c'est deja super chaud... :briques:

En ce qui concerne ma fonction ci-dessus, comment ferais-tu pour trouver la primitive ?

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 17 Fév 2008, 01:36

Nightmare a écrit:Bonsoir,

les primitives, c'est du mécanisme.


Nightmare t'as tout dit.

Tu garde en mémoire le théorème fondamental et ensuite tu
primitives à tout va.

pour vérifier les calculs, WOLFRAM INTEGRATOR içi

dodo :dodo:

quaresma
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par quaresma » 17 Fév 2008, 01:41

atito a écrit:f(x) = 2 + g(x) * g'(x)

En tout cas comme s'est dit avant il y a plusieurs méthodes donc pratique avec un peu de concentration comme dab ;-)


Et dans ce cas, que représente g(x) * g'(x) ?

atito
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par atito » 17 Fév 2008, 01:50

quaresma a écrit:Et dans ce cas, que représente g(x) * g'(x) ?


C'est quoi la dérivée de (g(x))^2?

quaresma
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par quaresma » 17 Fév 2008, 01:57

atito a écrit:C'est quoi la dérivée de (g(x))^2?


euh...((g(x))^3)/3 ? :hein:

Nightmare
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par Nightmare » 17 Fév 2008, 01:58

Oui donc on revient à ce qu'on a dit : Maîtrise d'abord les dérivées avant de t'attaquer aux primitives...

 

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