Primitives

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 12:31

Salut à tous, me revoila ^^

J'ai encore quelques problèmes aujourd'hui.... Je dois calculer des primitives:

ln(x)
xcos(x)

MERCI DE NE PAS ME FAIRE L'EXERCICE, MAIS DE JUSTE ME DONNER UNE PISTE DE DEPART

Merci d'avance :stupid_in

Bitonio

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 12:40

Bonjour :happy3:

Pour les deux, il suffit d'intégrer par partie :

ln(x)=1*ln(x)

:happy3:

par **ayanis** » 21 Aoû 2006, 12:42

pour ln(x) tente une IPP (intégration par parties). Mais c'est presque considéré comme une primitive usuelle...

Pour xcos(x) c'est pareil, une IPP et ton exos est fini en deux lignes...

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 13:01

Au passage, ici ce sera plus une primitivation par partie qu'une intégration par partie.

:happy3:

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 13:25

Oui ,j'avais pensé à intégrer par parties (premier truc qui m'est passé par la tête)... Cependant, j'intégre entre quoi et quoi ? c'est plus ca qui me pose un soucis. peut on intégrer sans bornes ?

par **ayanis** » 21 Aoû 2006, 13:45

Bon non, le concept de la primitive c'est d'intégrer de 0 à x f(t) dt...

T'as jamais fait le cours sur les primitives? Sinon ça doit être écrit dedans...

ttyl :happy2:

par **Sdec25** » 21 Aoû 2006, 13:45

bitonio a écrit:Oui ,j'avais pensé à intégrer par parties (premier truc qui m'est passé par la tête)... Cependant, j'intégre entre quoi et quoi ? c'est plus ca qui me pose un soucis. peut on intégrer sans bornes ?

Bien-sûr.
Tu sais d'où vient l'intégration par parties ? (uv)' = u'v + uv' donc pas besoin de bornes pour intégrer.

par **Sdec25** » 21 Aoû 2006, 13:48

bitonio a écrit:Oui ,j'avais pensé à intégrer par parties (premier truc qui m'est passé par la tête)... Cependant, j'intégre entre quoi et quoi ? c'est plus ca qui me pose un soucis. peut on intégrer sans bornes ?

L'intégration par partie vient de la propriété de dérivation (uv)' = u'v + uv'
On peut trouver une primitive avec cette méthode, en intégrant par exemple u'v sans bornes.

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 13:48

Si j'ai bien eu un cours sur les primitives en Terminal, mais j'ai jamais vu ca (je viens de vérifier.)

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 13:58

Ayanis > Ce que tu dis est faux ...

On ne définit pas une primitive de f comme l'intégrale de f sur [a,x] , on définit une primitive de f comme une fonction qui admet pour dérivé f.
En parallèle, Riemann a introduit la notion d'intégrale.
Les mathématiciens ont par la suite montrer que dans le cas d'une fonction continue, l'intégrale de f sur [a,x] était la primitive de f qui s'annulait en a, d'où la notation abusive

pour désigner toutes les primitives de f à une constante près.

par **Sdec25** » 21 Aoû 2006, 13:59

bitonio a écrit:Si j'ai bien eu un cours sur les primitives en Terminal, mais j'ai jamais vu ca (je viens de vérifier.)

Normalement on voit ça en terminale et on ne le revoit plus après.
La dérivée du produit de 2 fonctions uv est u'v + uv' donc

La primitive s'exprime à une constante près bien-sûr.

Pour intégrer x cos(x) pose u'=cos(x) et v=x

par **ayanis** » 21 Aoû 2006, 14:03

Nightmare a écrit:Ayanis > Ce que tu dis est faux ...

On ne définit pas une primitive de f comme l'intégrale de f sur [a,x] , on définit une primitive de f comme une fonction qui admet pour dérivé f.
En parallèle, Riemann a introduit la notion d'intégrale.
Les mathématiciens ont par la suite montrer que dans le cas d'une fonction continue, l'intégrale de f sur [a,x] était la primitive de f qui s'annulait en a, d'où la notation abusive pour désigner toutes les primitives de f à une constante près.

Oui, bien sûr mais c'est plus facile comme ça et comme il sort juste de term (je me trompe peut etre sur ce point...) je me disais qu'il apprendrai la rigueur l'an prochain... De toutes façons ça marche, c'est pas tout à fait rigoureux mais des fois ça permet de s'enlever une écharde du pied. Je suis néanmoins d'accord que j'aurais dû préciser, mais mon prof de term nous avait donné cette méthode que j'ai direct adopté vu comme elle est plus simple. Et comme tu dis ça marche pour les fonctions continues, or à son niveau il est rare qu'on ne lui pas des fonctions continues... Il verra la suite en prépas...

Mais tu as raison, je le reconnais

ttyl

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 14:06

Sdec25 a écrit:Normalement on voit ça en terminale et on ne le revoit plus après.
La dérivée du produit de 2 fonctions uv est u'v + uv' donc
La primitive s'exprime à une constante près bien-sûr.

Pour intégrer x cos(x) pose u'=cos(x) et v=x

j'ai vu l'intégration par parties, ce n'est pas ca le problème. mais on aborde l'intégration par partie que lorsqu'on veut intégrer et surtout qu'il y a des bornes... On n'a jamais utilisé l'intégration par parties pour trouver des primitives.

Merci de votre aide en tout cas

Bitonio

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 14:06

Effectivement je sors de term et je m'apprete à rentrer en prépa MP ^^

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 14:08

bitonio :

C'est pour ça que j'ai parlé par la suite de Primitivation Par Partie.

C'est le même concept que l'intégration par partie, sauf qu'on a pas de borne !

:happy3:

par **Sdec25** » 21 Aoû 2006, 14:09

bitonio a écrit:j'ai vu l'intégration par parties, ce n'est pas ca le problème. mais on aborde l'intégration par partie que lorsqu'on veut intégrer et surtout qu'il y a des bornes... On n'a jamais utilisé l'intégration par parties pour trouver des primitives.

Tu sais qu'intégrer revient à faire une différence de primitive ?
Dans la formule que je t'ai donnée il n'y a pas de bornes. C'est la même chose sauf qu'on a une constante en plus.

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 14:11

Sdec25 a écrit:Tu sais qu'intégrer revient à faire une différence de primitive ?

Toujours dans le cadre d'une fonction continue, ne l'oublions pas :lol3:

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 14:11

oui oui j'ai compris. Le terme primitivisation par partie explique bien en effet ce que l'on cherche.

Merci à tous, je vous donnerai mes résultats très rapidement, pour voir si j'me suis pas planté ;)

par **bitonio** » 21 Aoû 2006, 14:16

x ln(x) - x

x sin(x) + cos(x)

Effectivement c'est tout con une fois qu'on a pigé qu'une intégrale ne doit pas toujours être bornée (je m'explique surement mal ^^)

Merci à tous, et surement à bientot :zen:

Bitonio

par **Nightmare** » 21 Aoû 2006, 14:18

En fait, bizarrement la notion de primitivation par partie est beaucoup plus naturelle que l'intégration par partie :

Tu connais la formule de dérivation (uv)'=u'v+uv'.
Qu'on peut encore réécrire :
u'v=(uv)'-uv'

Une primitive de u'v est donc égale ) une primitive de (uv)'-uv'.
Or une primitive de (uv)'-uv' (qui est une différence) est égale à la différence d'une primitive de (uv)' soit uv et d'une primitive de uv'.

En notant abusivement :

une primitive quelconque de f, on peut réécrire ce que je viens de dire par :

L'idée de dire que ça marche en rajoutant des bornes n'est pas triviale à la base, si ça marche c'est d'une part dans le cadre des fonctions continues, et d'autre part parce qu'on a cette relation très puissante entre intégrale et primitive.

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