Analyse complexe - principe du maximum local

[endomorphisme]

Bonjour à tous,

Nous avons vu en cours d'analyse complexe le principe du maximum local, qui stipule que toute fonction holomorphe non constante n'admet pas de maximum local.
Cependant, je ne comprends comment ce résultat peut ne pas entrer en contradiction avec un résultat bien connu indiquant que toute fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes (résultat que nous avons par ailleurs utilisé à plusieurs reprises dans ce cours).
Par exemple, si je prends f holomorphe et si je considère le disque fermé D(0,1) : c'est un compact car fermé borné en dimension finie. f est donc bornée et atteint ses bornes sur ce compact. Elle admet donc un maximum sur D(0,1) non ??? Ou il y a quelque chose qui m'échappe ?

Voilà, merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Tout ce que tu dit est parfaitement juste, mais il y a un truc que tu n'a pas entièrement saisi concernant la définition de ce qu'est "un maximum local" (en tout cas dans ce contexte) : Si une fonction f est définie sur une partie X quelconque de C (ou de R) et à valeur dans R, on dit que le complexe zo de X est un "maximum local" de la fonction f lorsque :
1) Il existe un rayon r>0 tel que le disque D de centre z0 et de rayon r soit entièrement contenu dans X
2) pour tout z de D on a f(z) f(zo)

Donc par exemple, sur le disque fermé D(0,1) qui est compact, le module d'une fonction holomorphe admet obligatoirement un maximum (vu que l'image par la fonction continue |f| de ce compact de C est un compact de R) mais par contre ce maximum ne peut pas être un maximum local et ça signifie en fait que le maximum est forcément situé au bord du disque (i.e. sur le cercle de centre 0 et de rayon R) : un z0 situé "au bord" du domaine, même si c'est un maximum "global" de la fonction sur le domaine, n'est pas un maximum local vu qu'il n'existe pas de petit disque centré en z0 entièrement contenu dans le domaine.

En fait, si tu réfléchi un peu, c'était la même chose pour les fonctions (dérivable) de R dans R : une fonction définie (et dérivable) sur un intervalle [a,b] admet forcément un maximum "global" sur cet intervalle (il y a un théorème d'analyse qui te dit que f([a,b]) est un intervalle fermé borné).
Sauf que ce maximum "global" est :
- Soit un point xo strictement compris entre a et b et dans ce cas, on a forcément f'(xo)=0 (ce qui permet de repérer les candidats potentiels) et xo est bien un "maximum local" de la fonction
- Soit une des deux extrémités a ou b de l'intervalle et dans ce cas, bien sûr, il n'y a aucune raison que f'(xo) soit nul et xo n'est pas un "maximum local" de la fonction (en tout cas pas dans le sens dont on en parle dans le théorème du du maximum local)

[endomorphisme]

Ok...
Merci beaucoup.
Effectivement, je n'avais pas saisi cette subtilité.