Maximum local

par **vysy** » 18 Mar 2010, 14:42

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
sur wikipédia, ils mettent :

Soit D un espace topologique. Étant donné un point a de D, on dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(a)

f(x).

moi j'aurais mis : f(a) > f(x).

donc j'ai un gros doute,... svp[/FONT]

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:45

vysy a écrit:[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
sur wikipédia, ils mettent :

Soit D un espace topologique. Étant donné un point a de D, on dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(a) f(x).

moi j'aurais mis : f(a) > f(x).

donc j'ai un gros doute,... svp[/FONT]

si on suppose que

au voisinage de

, ça veut dire que

, car

appartient au voisinage de

. ( contradiction ) :happy3:

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 14:48

tu peux dire comme ça s'il s'agit d'un voisinage epointé ( c'est à dire privé du point

) à ce moment là, il y'a inégalité strict ! :happy3:

par **vysy** » 18 Mar 2010, 14:51

merci! c'est ce que je pensais

par **Nightmare** » 18 Mar 2010, 14:53

Pourquoi vouloir une inégalité stricte? Une fonction peut avoir un maximum local atteinte en plusieurs points. Par exemple, la fonction périodique cos a un maximum local tous les 0 modulo 2pi, et dans le voisinage [-4pi;4pi] de 0, il est atteint 5 fois.

par **alavacommejetepousse** » 18 Mar 2010, 18:25

Nightmare a écrit:Pourquoi vouloir une inégalité stricte? Une fonction peut avoir un maximum local atteinte en plusieurs points. Par exemple, la fonction périodique cos a un maximum local tous les 0 modulo 2pi, et dans le voisinage [-4pi;4pi] de 0, il est atteint 5 fois.

cela étant sur cet exemple chaque max local est strict

ce que dit barbu est faux

la fonction constante a un max local en tout point qui n est jamais strict

sur aucun voisinage épointé (notion barbare) on n aura l inégalité stricte
wikipédia a raison

par **Ben314** » 18 Mar 2010, 18:36

Je confirme trés fort ce que dit alavacommejetepousse :
Le problème "méthaphysique" est de savoir si, l'orsqu'une fonction est (localement) constante, on veut pouvoir dire ou pas que "tout point est un max local".
Au fond, on s'en fout : le cas n'est pas trés interessant et la réponse va être oui ou non selon la définition que l'on choisi du mot "max local".
SAUF QUE, comme souvent, il est assez agréable que tout le monde prenne la même définition, et que là, celle que tout le monde prend (à ma connaissance)... c'est celle de Wikipédia.

Si tu veut, tu peut évidement en prendre une autre, mais ça va être un peu chiant pour tout ceux qui te lirons ou t'écouterons...

par **Nightmare** » 18 Mar 2010, 18:52

Ben314 a écrit:Je confirme trés fort ce que dit alavacommejetepousse :
Le problème "méthaphysique" est de savoir si, l'orsqu'une fonction est (localement) constante, on veut pouvoir dire ou pas que "tout point est un max local".

Il me semble d'ailleurs que les fonctions constantes sont les seules applications continues qui admettent en tout point un maximum local !

par **Ben314** » 18 Mar 2010, 19:10

Nightmare a écrit:Il me semble d'ailleurs que les fonctions constantes sont les seules applications continues qui admettent en tout point un maximum local !

J'aurais même tendance à penser que tu peut enlever le mot continu... (et par contre rajouter que l'on se place sur une partie connexe...)

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 19:34

Je sai pas c'ke vous avez contre moi ! vous me poursuivez tout le temps ! :hum:
Pour la fonction constante, qu'est ce qui contredit ce que j'ai dit, je sé qu'il y'a un maximum local le même en chaque point ! où est le problème par rapport à ce que j'ai dit ? la tu as

avec

quelcoqnue ! tu peux aussi ecrire :

ou bien comme ça

comme tu veux ! :happy3:

par **alavacommejetepousse** » 18 Mar 2010, 20:31

barbu23 a écrit:tu peux dire comme ça s'il s'agit d'un voisinage epointé ( c'est à dire privé du point ) à ce moment là, il y'a inégalité strict ! :happy3:

tu vois bien que pour la fonction constante l 'inégalité n'est jamais stricte

(rien de personnel je t'assure)

par **barbu23** » 18 Mar 2010, 20:38

D'accord ! ça marche pas toujours ! :happy3:
Mais dans un cadre courant, il n'y'a que ça la plupart du temps !

par **vysy** » 19 Mar 2010, 09:27

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
si on prend la définition de wikipédia : je rencontre un soucis :

dans le cadre d'une fonction strictement croissante sur [0,2]
puis constante sur [2,4]
puis strictement croissante sur [4,6].

Wikipédia dirait donc qu'il y a un voisinage V de 2 tq V = ]1,5 ; 2,5[ sur lequel f(x)<=f(2) et donc que 2 est un maximum local.

Donc je ne sais pas s'il est logique de dire que 2 est un maximum local...
Vous en pensez quoi? c'est peut être moi qui fais fausse route[/FONT]

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 10:09

oui max local en 2

ton problème est que dans le langage courant supérieur = strictement supérieur alors qu 'en maths par défaut supérieur = supérieur ou égal

il faut toujours sans précision prendre les notions au sens large en maths

positif = positif ou nul

croissante = croissante au sens large

deux objets = éventuellement égaux

etc

par **Ben314** » 19 Mar 2010, 10:14

Je suis d'accord que, "naïvement parlant", il peut sembler anormal de dire que ta fonction admet un max local en x=2 (mais je te confirme que, avec la définition usuelle de max local, c'est bien le cas, et même que tout point de [2,4[ est max local).
Le problème, c'est que si on prenait la définition suggérée par barbu (et par toi) qui demande un voisinage de a tel que f(x)f continue, strictement négative sur ]-oo,0[ et sur ]1,+oo[ et nulle sur [0,1]
n'aurai AUCUN maximum local sur R, et il me semble que "naïvement parlant", c'est aussi trés anormal...

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 10:17

bof moi ça me choquerait pas mais c est pas comme ça qu on définit ce mot c est tout.
langage = convention

il est l heure de manger un verre de sancerre dans mon assiette en cristal
comment ca c est trop tard?

par **Ben314** » 19 Mar 2010, 10:37

alavacommejetepousse a écrit:bof moi ça me choquerait pas mais c est pas comme ça qu on définit ce mot c est tout.
langage = convention

Evidement, tu as raison, mais j'aime bien essayer de montrer que parmi les différentes conventions possibles, on a souvent (mais pas toujours) essayé de prendre soit celle qui "collait" le plus avec la vision naïve, soit celle qui permet d'avoir des résultats "simples".

Pour ton autre remarque ("positif=positif ou nul"...) il est aussi assez interessant de noter que :
1) Dans le langage courant (i.e. non mathématique) a peu prés tout le monde (en tout cas les non matheux...) interprète "plus grand que" comme voulant dire "strictement plus grand que". En particulier, j'ai toujours un doute dans les énigmes/casse-tête dont l'énoncé est écrit en français et contient les mots "supérieur à" ou "plus grand que".
2) Dans les pays anglosaxons, y compris en math, les mots "positive" ou "greater than" sont toujours à prendre au sens strict. Par exemple la phrase "Soit n un entier positif [ou nul]" se traduit par "Let n be a non-négative integer".

par **alavacommejetepousse** » 19 Mar 2010, 10:40

i know honey but i m not causing english et leur "non decroissante fonction" me laisse toujours perplexe

par **vysy** » 19 Mar 2010, 11:27

Ben314 a écrit:Je suis d'accord que, "naïvement parlant", il peut sembler anormal de dire que ta fonction admet un max local en x=2 (mais je te confirme que, avec la définition usuelle de max local, c'est bien le cas, et même que tout point de [2,4[ est max local).
Le problème, c'est que si on prenait la définition suggérée par barbu (et par toi) qui demande un voisinage de a tel que f(x)<f(a) pour tout x distinct de a du voisinage, alors une fonction du type suivant :
f continue, strictement négative sur ]-oo,0[ et sur ]1,+oo[ et nulle sur [0,1]
n'aurai AUCUN maximum local sur R, et il me semble que "naïvement parlant", c'est aussi trés anormal...

je suis d'accord avec toi ! merci a vous

par **Ben314** » 19 Mar 2010, 16:46

alavacommejetepousse a écrit:i know honey but i m not causing english

So do I (ou "So don't I" ?? ou ni l'un ni l'autre ??)...

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