Algerbe linéaire

[Vlad-Drac]

:help: :help: :help: :help: :help:

u(x,y,z)=(3x+z,2x+y+z,-x+y+z)
1) donner la matrice representative A de u
2) donner le polynome caractéristique et minimal
3) donner les ss espace spectraux et projecteur associé
4)donner la décomposition spectral de A
5) donner une base de R3 dans laquel la matrice de u est de la forme D+N ou D est diagonal et N nilpotente.

1)
A =
3 0 1
2 1 1
-1 1 1

2)
P(X) = (3-X)(X-1)²
Q(X)= -P(X)

3)
ss espace caractéristiques:
E(3)=ker(A-3I)
E(1)=ker[(A-I)²]
Projecteurs respectif:
Pi(3)=1/4(A-I)²
Pi(1)=1/4(A+I)(3-A)

4)
on a Pi(3)+Pi(1) = I donc
A = A*Pi(3) + A*Pi(1)

5)
La j'ai un soucie :(
en fesant D= 3*Pi(3) + Pi(1)
et N = A - D
j'obtiens une matrice nilpotente et une matrice diagonalisable mais pas diagonal :( si je la diagonalise leur somme ne donne plus A et tou ca ne me dit pas dans quelle base de toute facon.. bref :(

merci

[Doraki]

Il faut chercher une base qui soit compatible avec ta décomposition spectrale.

Si tu essayes de diagonaliser ton D = 3Pi3 + Pi1, normalement ça te donne une matrice de passage P qui correspond à une telle base.

Ensuite, dans cette base, A devient P-1AP = P-1(N+D)P = P-1NP + P-1DP,
et là P-1NP est nilpotente ((P-1NP)² = P-1N²P = 0), et P-1DP est diagonale.

(évidemment si tu fais un changement de base sur D pour la diagonaliser, il faut faire ce même changement de base sur A et N sinon tu peux rien en faire).

[Vlad-Drac]

rho la vache okok je verrais ca apres mangé.merci pr ta reponse entt cas

[GagaMaths]

Désolée pr ma contribution, mais j'adore le titre du topic ;)

[Vlad-Drac]

haha en effet je n'aimeme pas fait exprespour le titre ^^

SInon merci pour ton aide Doraki ca marche bien. mais je ne comprend pas ta phrase,

Il faut chercher une base qui soit compatible avec ta décomposition spectrale.

Si tu essayes de diagonaliser ton D = 3Pi3 + Pi1, normalement ça te donne une matrice de passage P qui correspond à une telle base.

je me disait, peut on faire une reduction de jordan pour trouver le D+N ?? c'est assez rapide et facile si j'ai bien compri comment ca marchais ..

edit: dailleur en passant maintenant que j'ai vu ce quu'étais la reduction de jordan, je ne vois pas l'interet de la decomposition de dunford (qui nous donne D+N avec D qui n'est pas diagonal...)?

[Doraki]

La décomposition spectrale de u te dit que :
E = E1 + E3, et u = u|E1 + u|E3, où u|E1 est un endomorphisme de E1 tel que (u|E1 - id_E1)² = 0,
et où u|E3 est un endomorphisme de E3 tel que (u|E3 - 3id_E3) = 0.

Et il s'agit juste de trianguler u|E1 et u|E3 (trouver des bases dans lesquelles les matrices correspondantes sont triangulaires supérieures), ce qui te donne une base de E dans laquelle u est de la bonne forme.

D'ailleurs ptetre que les questions 3 et 4 sont là pour que tu donnes des résultats un peu plus concrets.

[Vlad-Drac]

Je ne vois pas trop ce que tu veux dire.
il faut exprimer les matrice de u|E1 et u|E3 sous la forme D1+N1 et D2+N2
et la matrice qu'on cherche = D1+D2 + N1+N2 ??

[Doraki]

Ouais désolé, u = u|E1 + u|E3 ça veut rien dire, c'est plutot u = ;)1 ° u|E1 ° ;)1 + ;)3 ° u|E3 ° ;)3,
où ;)i : E -> Ei est la projection parallèlement aux autres Ej ; ;)i : Ei -> E est l'inclusion ;
u|Ei est un endomorphisme de Ei (qu'on peut donc trianguler)

(parceque bon additionner u|E1 avec u|E3, ça veut autant rien dire qu'additionner D1 avec D2, qui sont des matrices de taille différente)

Comme E est la somme directe de E1 et de E3, si tu as une base de E1 et une base de E3, alors la réunion de ces deux bases est une base de E.
Maintenant tu as juste à réfléchir très fort sur que peuvent bien être les matrices (dans les bases correspondantes) de ;)1, ;)3, ;)1, ;)3, pour pouvoir traduire matriciellement ce que j'ai écrit à propos de u, et donc pouvoir reconstituer la matrice de u dans cette base de E.

Donc ce que tu dois faire normalement c'est :
- trouver une base de E1 et exprimer u|E1 dans cette base
- trouver une base de E3 et exprimer u|E3 dans cette base
- chercher une nouvelle base de E1 telle que u|E1 soit triangulaire
- chercher une nouvelle base de E3 telle que u|E3 soit triangulaire (pas très dur)
- en déduire la matrice de u dans la base formée de ces deux bases.

[Vlad-Drac]

okok bon j'y reviendrais un peu plus tard je m'embrouille :lol3:
merci pr tt Doraki