Algébriquement indépendant

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morphoke
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Algébriquement indépendant

par morphoke » 23 Juin 2022, 19:38

Bonjour à tous,
Voilà , j'ai une question mais je ne vois pas la réponse.

Définition : On dit que les deux nombres {a, b} algébriquement indépendants s'il n'existe pas de polynome non nul
P(X,Y) à coefficients algébriques tel que:
P(a,b) = 0

On a:

{a,} algébriquement indépendants
on en déduit

{} algébriquement indépendants

On ne comprends pas pourquoi on supprime tout et ne garde que ?

Voilà ce que je fais:
Je suppose que {} algébriquement dépendants donc il existe un polynome non nul
P(X,Y) à coefficients algébriques tel que:
P() = 0
Mais je n'arrive pas à trouver un polynome non nul
K(X,Y) à coefficients algébriques tel que:


Merci de vos aides
Modifié en dernier par morphoke le 24 Juin 2022, 13:42, modifié 1 fois.



GaBuZoMeu
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Re: Algébriquement indépendant

par GaBuZoMeu » 23 Juin 2022, 21:04

Bonsoir,

Déjà, c'est dans l'autre sens que tu dois faire ton raisonnement par contraposition : si et sont algébriquement dépendants, alors et sont algébriquement dépendants. Vu ?

Ensuite, on peut raisonner de la manière suivante : si est algébrique sur alors est aussi algébrique sur .
Sinon, on peut partir d'un polynôme non nul à coefficients algébriques tel que et bricoler pour fabriquer un polynôme non nul à coefficients algébriques tel que . C'est casse-pied mais avec un peu de patience on y arrive.
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morphoke
Messages: 3
Enregistré le: 23 Juin 2022, 18:40

Re: Algébriquement indépendant

par morphoke » 24 Juin 2022, 14:06

Merci pour la réponse.
Pour le raisonnement contraposé , dans mon esprit c'est bien qu'il faut commencer par {} algébriquement dépendants ...
Mais j'écris le contraire, il faut vraiment vérifier le texte avant de poster, et pour tant j'ai vérifié plusieurs fois ... Bref
Merci quand même la remarque.

Votre réponse m'a donné l'idée suivante:
La relation :

montre que a est algébrique sur
donc les corps
ont le même degré de transcendant.
autrement dit {} sont algébriquement indépendants

je me demande si ce raisonnement est correct ?

tournesol
Membre Irrationnel
Messages: 1228
Enregistré le: 01 Mar 2019, 20:31

Re: Algébriquement indépendant

par tournesol » 24 Juin 2022, 15:41

précises que ce degré est supérieur à 1 ...

 

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