Algèbre - matrices

[Manon587]

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant, un exercice d'oral des Mines donné par mon prof, auquel je n'arrive pas.

On a E un espace de dimension n et on veut montrer que f o f = 0 ssi il existe un projecteur tel que

p o f - f o p = f

Dans un premier temps, on a les matrices suivantes:

Mate(p) = Jr = matrice bloc avec ligne du haut Ir/O et ligne du bas O/O et Mate(f) = M est une matrice bloc carrée avec pour la ligne du haut A1/A2 et pour la ligne du bas A3/A4.

On a A1 € Mr(K), A2 €Mr,n-r(K) , A3 € Mn-r,r(K) et A4 € Mn-r(K)

On me demande de calculer JrM - MJr puis de montrer que M² = 0

Une idée ?
Merci

[jlb]

Bonjour,

Tu as calculé JrM-MJr? cela doit te donner une matrice bloc avec A2 et -A3et des blocs de 0 tu dis que c'est égale à M et tu trouves la forme des matrices M recherchées ( et un calcul rapide te donne M²=0) tu as donc une des deux implications démontrées (après avoir justifié toute la démarche: p s'écrit dans une base sous la forme Jr, M est la matrice de f dans cette base)
Il reste à montrer l'autre implication: en considérant la projection sur Imf parallélement à Kerf cela doit aller, à vérifier!!
bon courage