Algèbre des matrices

[bentaarito]

pourqoui a-t- onet??
( où et sont respectivement les polynômes caractéristique et minimal de l'endomorphisme f)

[Nightmare]

Salut,

qui est lambda ?

Si c'est "il existe lambda tel que" alors c'est vrai (lambda = 0)

Si c'est "pour tout lambda, on a" alors c'est clairement faux !

[bentaarito]

Finalement je trouve moi même que c'est assez évident (par définition de chaque polynôme)
(car le changement de l'indéterminée ne change pas le polynôme :lol3: )

[bentaarito]

Salut,

qui est lambda ?

Si c'est "il existe lambda tel que" alors c'est vrai (lambda = 0)

Si c'est "pour tout lambda, on a" alors c'est clairement faux !

Non ,est quelconque

[bentaarito]

Salut,

qui est lambda ?

Si c'est "il existe lambda tel que" alors c'est vrai (lambda = 0)

Si c'est "pour tout lambda, on a" alors c'est clairement faux !

Non est quelconque

[Nightmare]

Dans ce cas là comme je l'ai dit, c'est faux

Exemple, f=id a pour polynôme caractéristique (1-X)^n alors que f-Id a pour polynôme caractéristique (-X)^n

[bentaarito]

Oui je vois ton CE, mais je trouve pas où je me trompe dans la définition de :triste:

[Nightmare]

Ben je ne sais pas trop comment tu as obtenu ce résultat surtout...

Poly cara de f : det(f-X id)

Poly cara de f - lambda I : det(f- (X-lambda) Id)

Pourquoi diable ces deux quantités seraient-elles égales ? Si P(X) est un polynôme, on a rarement P(X)=P(X-lambda) ...

[bentaarito]

Ce résultat ,mon prof me l'a donné quand je lui ai demandé pourquoi on se contente d'étudier ,pour la jordanisation, le cas où f est nilpotent !! Bah il m'a répondu :" tout simplement car on a f=f-Id+Id(avec f-Id est nilpotent) et ...le reste est ce que j'ai déjà écrit et qui est faux en l'occurrence ( ouais P(X)!=P(X-a))
Voyez vous une autre méthode pour m'expliquer ça,,?? :hein:

[Doraki]

Ptetre qu'il voulait dire que

[bentaarito]

Non, ça est évidement juste mais il ne lui servira à rien!!

[Ben314]

Non, ça est évidement juste mais il ne lui servira à rien!!

Ben si justement, ça explique pourquoi, quitte à remplacer f par f-lambda.Id, on peut toujours supposer que c'est 0 la valeur propre qui nous interesse.

[bentaarito]

Alors, comment peut -on étudier la jordanisation dans le cas général.??

[bentaarito]

Ben si justement, ça explique pourquoi, quitte à remplacer f par f-lambda.Id, on peut toujours supposer que c'est 0 la valeur propre qui nous interesse.

Mais si (0) n'est pas une valeur propre de f on aura plus f-Id est nilpotent et la décomposition ne sert plus à rien :doh:

[Ben314]

Alors, comment peut -on étudier la jordanisation dans le cas général.??

Je comprend pas la question...
Ce que je vient de te dire montre qu'il suffit de regarder ce qu'il se passe sur le sous espace caractéristique associé à la valeur propre 0 (sous espace sur lequel ton endomorphisme est nilpotent) et que le cas des autres valeurs propres est identique, modulo de penser à rajouter à la fin le lambda.Id que l'on a enlevé au début.

[Ben314]

Mais si (0) n'est pas une valeur propre de f on aura plus f-Id est nilpotent et la décomposition ne sert plus à rien :doh:

c'est quoi lambda(0) ?

[bentaarito]

Je comprend pas la question...
Ce que je vient de te dire montre qu'il suffit de regarder ce qu'il se passe sur le sous espace caractéristique associé à la valeur propre 0 (sous espace sur lequel ton endomorphisme est nilpotent) et que le cas des autres valeurs propres est identique, modulo de penser à rajouter à la fin le lambda.Id que l'on a enlevé au début.

et pourquoi 0 sera une valeur propre!!

[Ben314]

et pourquoi 0 sera une valeur propre!!

3 EME SERVICE :
Si lambda est une valeur propre quelconque de f alors 0 est une valeur propre de f-lambda.Id.
Si vraiment tu ne comprend pas sous cette forme, ecrit que l'on pose g=f-lambda.Id et que c'est g et pas f que l'on étudie.... :mur:

[bentaarito]

ça je le comprends très bien . mais donc ,si j'ai bien compris , le prof voulais me dire que , en considérant g=f-lambda.Id qui est nilpotent , qu'on arrive à "jordaniser" sa matrice , puis on lui ajoute lambda, et qu'on obtient bien une matrice à blocs de Jordan! :we:

[Ben314]

ça je le comprends très bien . mais donc ,si j'ai bien compris , le prof voulais me dire que , en considérant g=f-lambda.Id qui est nilpotent , qu'on arrive à "jordaniser" sa matrice , puis on lui ajoute lambda, et qu'on obtient bien une matrice à blocs de Jordan! :we:

Oui, modulo que tu raisonne bloc par bloc : le début de la preuve consiste à montrer que l'espace E est somme directe des sous espaces caractéristiques de f puis, tu ne t'interesse plus qu'aux restrictions de f à chaque sous espaces caractéristique.
C'est à une de ces restrictions de f que tu retranche lambda.Id (ou le lambda correspond évidement à la valeur propre qui définit le s.e.v. caractéristique).