Algebre lineaire

[guio]

bonjours

Soit f l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est



(1) Calculer, pour tout , le determinant de la matrice A-
(2) Pour quelles valeur de l'endomorphisme est-il inversible ?
(3)Trouver une base de ker(f-id) et une base de ker(f+id).Quelle sont les dimensions de ces sous espaces?Montrer que ce sont des s.e.v supplementaires de .
(4) Quelle est la dimension de Im(f+id)? Donner une base de ce sous-espace et montrer que = Ker(f+id) + Im(f+id) .
((le "+" = somme direct en fait c'est un + entouré ))
(5) Ecrire la matrice f dans une base adaptée a la decomposition
= Ker(f-id) + Ker(f+id)
(le "+" entre les ker c'est aussi la somme direct.)

Pour la question 1 j'imagine que c'est

donc on aura pour = sur la premiere ligne sur la deuxieme et sur la derniere

pour la (2) je supose qu'il faut d'abord resoudre la matrice pour 1 * * sur la premiere ligne 0 1 * sur la seconde et 0 0 qlqchose ac sur la derniere et comme ca on pourra trouver pour quelle valeur de c'est inversible.

ps:les "*" sont des valeurs trouve pour resoudre la matrice.

pour les autres question je continu d'y reflechir, je vai voir ca dans l'apres midi.
merci de m'indiquer si mes deux premieres piste sont bonne ?!

[abcd22]

Bonjour,
Pour la 2, est inversible si et seulement si son déterminant (calculé au 1) est non nul.

PS: pour séparer les éléments d'une ligne de matrice en LaTeX il faut mettre & (comme pour les tableaux).

[guio]

en effet je viens de calcule le determinant et je trouve
et je me suis rapellé a ce que tu vient de dire
donc pour la 2 f-\lambda id est inversible pour pour la (3) faut-il que je calcul (f - id) et (f + id) pour trouver leur base ?

ps:merci pour l'astuce LaTex !

[abcd22]

en effet je viens de calcule le determinant et je trouve

C'est un polynôme de degré 3 en qu'il faut trouver (qui aura pour racines 1 et -1 d'après la question suivante).

[guio]

oula oui j'ai fait une grosse erreur de calcul dsl.
je trouve : - + + -1
ce qui donne pour la question 2

et c'est pour ça qu'il nous demande de calcule f-id et f+id le - et le + correspondent aux valeur qu'il fallait trouver pour dans la question 2?!

[guio]

f-id =

[abcd22]

et c'est pour ça qu'il nous demande de calcule f-id et f+id le - et le + correspondent aux valeur qu'il fallait trouver pour dans la question 2?!

Si est inversible son noyau est nul, donc on peut deviner que si on demande de calculer le noyau de pour certaines valeurs de ce seront précisément celles pour lesquelles n'est pas inversible (enfin il peut toujours y avoir un piège).
C'est bon pour le déterminant.

[guio]

POur la (3) j'ai trouve:

base de Ker(f-id) et sa dimenssion est 2.
base de Ker(f+id) et sa dimenssion est 1.

Pour montrer que ce sont des s.e.v supplementaire je vois pas comment faire
(j'ai pensé qu'il faut montrer que dim = dim ker(f+id) + dimker(f-id) mais je ne sais pas vraiment.

[guio]

en fait nan je ne voit pas l'astuce pour montrer que ce sont des s.e.v supplementaire de R^3

[abcd22]

base de Ker(f-id) et sa dimenssion est 2.
base de Ker(f+id) et sa dimenssion est 1.

C'est bon.

Pour montrer que ce sont des s.e.v supplementaire je vois pas comment faire
(j'ai pensé qu'il faut montrer que dim = dim ker(f+id) + dimker(f-id) mais je ne sais pas vraiment.

C'est une condition nécessaire mais pas suffisante : par exemple si dans R³ je prends le plan d'équation z = 0 et la droite d'équation z = x = 0, la somme de leurs dimensions fait bien 3 mais ils ne sont pas supplémentaires puisque la droite est incluse dans le plan.
Ici on a dim(ker(f + id)) + dim ker(f -id) = dim R³ = 3, il suffit de montrer au choix :
1) soit que la somme de ces deux sous-espaces est R³;
2) soit que
Le plus facile est le 2) car il suffit de montrer que le vecteur (-1, 1, 2) (base de Ker(f+id)) n'est pas dans ker(f-id), autrement dit que .

[guio]

ok merci
je reviendrais pour les prochaine question que je n'est pas encore abordé

[guio]

pour trouver une base de Im(f+id) je fait un pivot de gauss sur les colones et je trouve deux fois donc ensuite je montrer que

ensuite je calcule le determinant de = -6

donc
j'en deduit que = 0 donc

Si c'est bon je ne voit pas ce qu'il faut faire pour la (5)et si c'est faux je ne voit pas ce qu'il faut faire pour les deux dernieres question.

[guio]

ne me laissez pas tout seul !!! :mur:

[abcd22]

pour trouver une base de Im(f+id) je fait un pivot de gauss sur les colones et je trouve deux fois

Ça ça montre que l'image est de dimension 2, on pouvait aussi le faire avec le théorème du rang, à moins que vous ne l'ayez pas encore vu.

donc ensuite je montrer que

ensuite je calcule le determinant de = -6

donc
j'en deduit que = 0 donc

Je comprends ce que tu fais mais ce n'est pas très bien rédigé : on prend les 2 dernières colonnes de la matrice de f+id comme base de l'image, on constate en calculant le déterminant qu'avec la base de ker(f+id) trouvée auparavant ça forme une base de R³, donc on peut en déduire directement que .

Si c'est bon je ne voit pas ce qu'il faut faire pour la (5)et si c'est faux je ne voit pas ce qu'il faut faire pour les deux dernieres question.

On a montré que donc la réunion d'une base de ker(f+Id) et d'une base de ker(f-Id) (calculées dans les questions d'avant) donne une base de . Quelle est l'image d'un élément de ker(f-Id) (resp. ker(f+Id)) par f ?

[guio]

ca ne serait pas par hasard

l'image de ker(f-id) par f=

[abcd22]

Il n'y a pas de calcul à faire, il suffit juste de dire si x est dans Ker(f+Id), (f + Id)(x) = 0 donc f(x) = ... et pareil avec f - Id. Ensuite on applique ça aux vecteurs de la base de R³ formée de vecteurs de ker(f+id) et ker(f-id).

[guio]

ok merci pour ton aide