Algèbre linéaire

[lm21000]

Bonjour à tous !
J'aurai besoin d'aide concernant un dm, voici le sujet :
Soient E,F,G trois K espaces vectoriels de dimensions finies
On a f appartenant à L(E,F) et g appartenant à L(F,G)
Il faut que je montre que f(Ker(gof)) est inclus dans Ker g
En sachant que f(Ker(gof)) est inclus dans F et que Ker g aussi, je pensais montrer que dim f(Ker(gof)) < dim Ker g pour prouver l'inclusion de f(Ker(gof)) dans Ker g mais je ne suis pas sûre que cela suffise.
Si c'était le cas, avec le théorème du rang, j'ai abouti à cette égalité :
dim Ker g - dim f(Ker(gof)) = dim Im f(Ker(gof)) - dim Im g
Mais je ne vois pas trop comment continuer (prouver que Im g inclus dans Im f(Ker(gof)) ?)
Merci d'avance pour vos avis ou votre aide !

[Ben314]

Salut,

En sachant que f(Ker(gof)) est inclus dans F et que Ker g aussi, je pensais montrer que dim f(Ker(gof)) < dim Ker g pour prouver l'inclusion de f(Ker(gof)) dans Ker g mais je ne suis pas sûre que cela suffise.

Si on se place dans l'espace "usuel" R^3 et qu'on considère des sous espaces vectoriels D et P, est ce que tu pense que de savoir uniquement que D est une droite (i.e. de dim1) et que P est un plan (i.e. de dim 2) est suffisant pour en déduire que D est contenu dans P ?

Et sinon, pour répondre à la question, il suffit (comme très souvent dans les exercices simples) d'écrire correctement (*) ce que ça signifie, pour un élément y quelconque de F, d'être dans f(ker(gof)) et ce que ça signifie d'être dans ker(g). Si tu montre que "être dans f(ker(gof))" ça implique "être dans ker(g)", c'est fini.

(*) C'est à dire en utilisant la définition de l'image directe f(???) ainsi que celle du noyau ker(???).

[lm21000]

Ah je crois que je l'ai ! Si on prend y dans F, on a y appartenant à Ker g si et seulement si g(y)=0
Or on a aussi y appartenant à f(Ker(gof)) si et seulement si y=f(x) avec x appartenant à Ker gof, càd si et seulement si g(f(x))=0, soit g(y)=0
Et donc on a bien l'inclusion de f(Ker(gof)) dans Ker g !
Merci beaucoup pour l'aide

[Ben314]

Oui, c'est ça.
Et on peut même être plus précis : Si alors on a les équivalences suivantes

Donc qui est évidement contenu dans .