Algèbre linéaire

[Sheigh]

Bonjour à tous,

E = ev des fonctions polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à 2.
f = application linéaire qui à tout élément P de E associe la fonction polynôme définie pour tout x appartenant à R par : (x-1) P'(x)+ P(x)
B= (P0,P1,P2) base canonique de E définie pour tout réel x par :
P0 (x)=1
P1(x)=x
P2(x)= x^2

Est-il suffisant de montrer la linéarité de l'application linéaire pour démontrer que f est un endomorphisme de E?

[Kolis]

Bonjour !
Non, il faut montrer que les images des éléments de sont aussi dans .

Quant à "démontrer la linéarité d'une application linéaire" j'avoue ne pas bien comprendre !

[Sheigh]

Bonjour,
Merci.
Je pensais rédiger cette question de la sorte :
f(P)=(x-1) P'(x) +P(x)
puis prendre 2 polynômes P et Q appartenant à R2[x] et un scalaire a
et dire que si f(P+aQ)= f(P)+f(Q) alors on a bien un endomorphisme de E.

Donc s'il faut montrer que les images des éléments de E sont aussi dans E, c'est donc montrer que si P appartient à E alors f(P) appartient aussi à E. Je vais voir ça.

[Sheigh]

Bonjour,

S'il faut montrer que les images des éléments de E sont aussi dans E, c'est donc montrer que si P appartient à E alors f(P) appartient aussi à E. Je propose :
P appartient à E = deg P <=2 (voir énoncé) et donc P'<=1
or deg (X-1) = 1 donc (deg (X-1)*P') <=2
càd deg ((X-1)*P'+P))<=2 d'où on peut dire que f(P) appartient à E.
Et là est-ce suffisant pour dire que f est un endomorphisme ?

[Carpate]

Soient
il suffit de montrer que :


ou en un seul coup :

[Sheigh]

Bonjour,

C'est ce que je pensais avoir compris mais la réponse de Kolis m'a fait changer de direction.
J'avais rédigé ainsi.
f(P)= (x-1)*P'(x)
P et Q et un scalaire a
f(P+aQ)= (x-1) * (P+aQ)'+ (P+aQ)
= xP'+xaQ'-P'-aQ'+P+aQ = (x-1)P'+P+a ((x-1)Q'+Q)=f(P)+af(Q)
Et je me demandais si à cette suite je pouvais conclure que f est bien un endomorphisme, je me demandais si c'était suffisant ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est ok (avec les images dans E). Mais ce n'était pas la peine de tout développer.

[Ben314]

Salut,

Et je me demandais si à cette suite je pouvais conclure que f est bien un endomorphisme, je me demandais si c'était suffisant ?

Comme à la lecture des autres posts, je suis pas sûr et certain que la réponse soit claire pour toi, je (re)donne la bonne réponse.

Pour montrer que f est un endomorphisme de E, c'est à dire une application linéaire de E dans E tu doit montrer que :
(1) pour tout P de E, f(P) est bien un élément de E
ET QUE
(2) f est effectivement linéaire, c'est à dire que f(P1+P2)=f(P1)+f(P2) pour tout P1,P2 de E et que f(a.P)=a.f(P) pour tout P de E et tout a de R.

[Sheigh]

Bonjour,

Je te remercie beaucoup de ta réponse Ben314, c'était effectivement pas trop clair à mes yeux, mais avec ta réponse, ça l'est nettement mieux, je vois ce qu'on attend de moi.

[chan79]

f(P)=(x-1) P'(x) +P(x)

Bonjour
Tout le monde comprend mais il faudrait normalement écrire:
[f(P)](x)=(x-1)P'(x)+P(x)

[Sheigh]

Oui.
Merci.