Algèbre Linéaire, applications linéaires

[ArtyB]

Bonjour à vous tous,

Je rencontre quelques difficultés face à l'exercice suivant, j'ai quelques intuitions mais je ne sais pas comment je suis sensé démontrer rigoureusement les réponses aux questions suivantes, votre aide la bienvenue

Pour tout A on définit l’application ;) .

1. Montrer que pour A donnée l’application h_A est un élément de .
Je n'ai pas la moindre idée de comment le démontrer

2. Montrer que l’application ;) ;) est linéaire et injective.
Pour démontrer qu'elle est linéaire, on prend deux matrices U et V, ainsi qu'un réel k et on démontre que h(U=kV)=h(U)+kh(V), parce que la trace est une application linéaire. Pour l'injectivité je ne sais pas trop...

3. En déduire que tout élément de peut s’écrire comme h(A) pour un unique .
Je ne vois pas trop non plus comment faire là

4. Dans le cas n = 2, on considère la forme linéaire h définie par h qui à associe a + b + c + d.
Déterminer la matrice A qui réalise .

[MouLou]

Quelles sont tes problèmes?

Edite ton post pour avoir un truc plus lisible stp, j'ai mis pas mal de temps à déchiffrer et c'est pas tres agreable

[ArtyB]

Toutes mes excuses Moulou, au moment de pré-visualiser mon post j'ai appuyer sur le mauvais bouton (envoyer au lieu de pré-visualiser) j'ai édité le post

[MouLou]

pour la 1. c'est plutot . Donc montrer que pour tout A, est une forme linéaire. En fait c'est exactement l'argument que t'as donné pour le debut de la 2.

pour l'injectivité de la 2. si pour tout M, tr(AM)=0, peux tu trouver une matrice M spécifique telle que si tr(AM)=0, alors A=0.

pour la 3. T'as une application linéaire injective d'un espace de dimension finie vers un autre. Dans quel cas elle est du coup bijective? (Théorème du rang, etc?)

pour la 4. Faut tatonner

[ArtyB]

Merci de ta réponse Moulou !
1) En effet c'est je pense qu'il y a une coquille dans l'exercice, c'est courant dans ceux-ci. Etrange que ça soit l'argument donné en 2) non ? Ils ne demanderaient pas de le démontrer après dans ce cas là si ?

2) Pour l'injectivité, si A est une matrice nulle alors on peut prendre n'importe quelle matrice M dans tous les cas on aura tr(AM)=0. Donc il n'existe pas une matrice spécifique M telle que si tr(AM)=0, alors A=0. C'est ça ?

3) Si on démontre l'injectivité, le théorème du rang permet d'établir l'équivalence entre injectivité et surjectivité et donc bijectivité et donc tout élément de peut s'écrire pour un unique A de . AI je le bon raisonnement ?

[MouLou]

Bah pour la 1) t'appliques la linéarité de la trace pour "M", et pour la 2) t'appliques la linéarité de la trace, mais pour "A".

pour l'injectivité, si c'est vrai pour toutes les matrices, c'est vrai pour une matrice bien précise, qui te donne que A=0.
Allez un indice: est une norme (comme ca j'aurais pas donné la réponse de manière trop évidente )

pour la 3) tu oublies un argument: le théorème du rang donne que si une application linéaire est injective, alors son rang est égal a la dimension de l'espace de depart. Donc il te reste à donner un argument sur la dimension de l'espace d'arrivée pour conclure

[ArtyB]

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la différence entre la question 1 et 2:
1) on le démontre pour M, ie si on prend M=U+kV on a tr(AM)=tr(AU)+ktr(AV)
2) on le démontre pour A, ie si on prend A=B+qC on a tr(AM)=tr(BM)+qtr(CM)
avec q et des réels et U,V, B et C des matrices de

est-ce bien cela ?

C'est vrai pour le cas particulier ou M est la matrice nulle, si c'est le cas et si A est aussi la matrice nulle alors tr(AM)=0 mais je ne vos pas le lien avec l'injectivité.
Alors là le coup de la norme m'embrouille plus qu'autre chose haha, je ne vois pas trop le rapport avec l'injectivité?
Concernant la transposée, je sais que
et que
Mais je ne vois pas en quoi ça aide haha

3) Je comprends que le théorème du rang donne ce résultat mais en quoi en a-t-on besoin ici ? Pourquoi faut il donner un argument sur la dimension ?

[MouLou]

La seule différence entre la questoin 2 et 1 est l'élément auquel tu appliques la linéarité, comme tu l'as écrit, c'est tout.

Pour la 2) reprend tout depuis le début tu t'égares completement. tu sais que tr(AM)=0 pour toute matrice M, et tu veux en déduire que A=0. Moi ce que je te dis c'est que si tu prends une matrice M particulièrement choisie, alors le fait que tr(AM)=0 implique que A=0 avec cette matrice M choisie.

Evidement qu'on va pas prendre M=0 ca n'apporte absolument rien... Ne pars pas du principe que A est la matrice nulle aussi, c'est ce que tu veux montrer...

Un norme N vérifie en particulier: N(A)=0 ssi A=0. DONC si tr(AM)=0 pour toute matrice M, alors c'est vrai en particulier pour ... donc?

[ArtyB]

D'accord, merci ! J'avais peur de m'embrouiller.

Pour la 2) j'avoue m'égarer un peu, je n'ai pas vu ces histoires de normes et d'injectivité.
Donc d'après ce que j'ai compris, si une norme N est telle que N(A)=0 ssi A=0 et si l'on cherche tr(AM)=0 =>A=0 pour un M particulier or est une norme, ie ssi A=0, on peut prendre comme M particulier ?

[MouLou]

Oui voila! en fait donc si c'est nul, a_i,j est nul pour tout i,j donc A est nulle.

[ArtyB]

D'accord, oui en effet ça semble logique ! Mais en quoi ça nous permet de démontrer l'injectivité ?

[MouLou]

Bah relis ce qu'on a dit et refait le raisonnement

[ArtyB]

Voilà ce que l'on a dit plus haut:
"Pour l'injectivité de la 2. si pour tout M, tr(AM)=0, peux tu trouver une matrice M spécifique telle que si tr(AM)=0, alors A=0."

Mais du coup je ne vois pas le rapport avec l'injection. L'injection étant définit comme suit: f est injective si tout élément y de Y admet au plus un antécédent x (par f).

[MouLou]

Oui enfin dans le cas linéaire on a une moyen plus simple de montrer une injectivité tu crois pas?
Exo: montre moi qu'une application linéaire est injectrive ssi son noyau est reduit a 0.

[ArtyB]

Pour l'exo:
Si f est injective, alors soit x de Ker(f), on a f(x)=0=f(0) donc x=0 par définition de l'injectivité.
Si Ker(f)=0, alors soient u et v de E tels que f(u)=f(v), par linéarité de f on en déduit que f(v-u)=0, soit v-u est dans Ker(f), or Ker(f)=0 donc u=v et f est injective.
C'est bon ?

Et il suffit juste de l'appliquer ici c'est ça ?