[Algèbre linéaire] Image d'une somme d'applications linéaires

[Wenneguen]

Bonjour,

l'image d'une somme d'applications linéaires est-elle égale à la somme des images de chacune de ces applications linéaires ?

En gros est-ce que Im(f+g) = Im(f) + Im(g) ?

Merci !

[Luc]

Bonjour,

l'image d'une somme d'applications linéaires est-elle égale à la somme des images de chacune de ces applications linéaires ?

En gros est-ce que Im(f+g) = Im(f) + Im(g) ?

Merci !

Salut Wenneguen,
Non, seule l'inclusion est vraie en général.
Un contre-exemple en dimension 2. E=Vect(e1,e2). f(e1)=e1, f(e2)=0. g(e1)=e2, g(e2)=0. On a alors Im(f+g)=Vect(e1+e2) est de dimension 1, mais Im(f)+Im(g)=Vect(e1,e2)=E.

Par contre, si tu as un argument de dimension (en dimension finie), genre , alors il y a égalité et de plus, la somme est directe.

[Wenneguen]

Salut Wenneguen,
Non, seule l'inclusion est vraie en général.

D'accord merci ( il va falloir que je trouve autre chose pour résoudre mon exo ! :zen: ) Est-ce que tu saurais où je peux trouver la démonstration de cette propriété ?

[Nightmare]

Hello,

reviens simplement aux définitions de l'image.

:happy3:

[Wenneguen]

Ouaip merci c'est pas très compliqué en fait :D