Algèbre linéaire - application linéaire

[Linea]

Alors je coince aussi là-dessus à première vue...

Soient E un espace vectoriel, F1 et F2 deux s.e.v de E tels que E=F1+F2 (somme directe). On considère la projection vectorielle p2 sur F2 parallèlement à F1, c'est-à-dire l'application linéaire p2 : E-->E telle que :
p2(x) = x2 (le "2" est en indice en "bas" hein)

si on écrit la décomposition unique x= x1 + x2 (avec x1 appartenant à F1 et x2 appartenant à F2).

Vérifier que p2 est une application linéaire.

Voilà donc " application linéaire cherche aide pour se mettre sur la voie ! " :ptdr:

Merci d'avance.
( et je cherche toujours quelqu'un de charitable pour m'aider à répondre à mes interrogations et à trouver mon erreur sur mon autre topic... erf, car ça m'énerve de ne pas trouver/comprendre !!! )

[Nightmare]

Bonsoir,

Ce n'est pas très compliqué.

Que doit-on vérifier pour qu'on ait une application linéaire?

[Linea]

Ben que pour U et V deux ev, et F une application linéaire tel que V-->U, on est :
-) quelque soit u,v appartenant à V, on est F(u+v)= F(u)+f(v)
et que :
-) quelque soit k, on est F(kv) = kF(v).

Mais je ne vois pas comment appliquer ces définitions pour une projection en plus j'ai toujours été habituée à du "numérique" (des vecteurs par exemple ^^) ...

[Nightmare]

Je te fais l'addition.

Soient u et v dans E

Il existe et tels que et

Alors :

D' où

:happy3:

[Linea]

Okay !!! Mais t’es génial toi, j’ai tout compris ! En fait j’avais un problème d’énoncé ou il se fait tard car c’est vrai que c’est pas bien compliqué… ! :id: C’est trivial comme c’est écrit dans ta signature ! lol [ ça me fait penser à un chargé de TD qui disait toujours ça… ! ^^ erf ! ]
Seul bémol à ta démonstration, f(u+v) ne serait pas plutôt égal à : f(u+v)= x2+y2 … d’après l’énoncé ?
Attention car là je vais me remettre en question sinon… :ptdr:

Alors à mon tour de jouer, je fais la multiplication par un scalaire :
Soit u= x1 + x2
ku= kx1 + kx2
f(u)= x2 , d’où kf(u) = kx2
et f(ku) = kx2

Donc f(ku) = kf(u) !

D’où c’est bien une application linéaire !!! C’est bien ça ?! :happy2:

[Nightmare]

Oui effectivement on projette sur F2 et non F1 au temps pour moi.

C'est bon ce que tu as fait.

:happy3:

[Linea]

Yeees !!! Encore mille merci Nightmare !!! :++:

Et si tu es (encore!) inspiré n'hésite pas à aller jeter un coup d'oeil à mon autre topic délaissé (Algèbre Linéaire - Matrices et changement de base) !! lol *** on sait jamais, si tu trouves ! ** .. c'est vrai, c'est bizarre, je comprends pas, j'ai une solution qui me semble juste pourtant mais qui se contredit !! :ptdr:

Donc y'a un truc qui est faux ? :hum:
Mouais... Bon...

Encore merkiii en tous les cas pour cet exercice, c'est super gentil d'avoir pris un peu de ton temps !!! :happy2: