Algebre groupe d'ordre 210

[Ouimet21]

Jai un cours de theorie des groupes et on nous demande de montrer quun groupe dordre 210 possede un sous-groupe normal dordre 105.

Il y a pleins dautre exercices de ce genre que je sais faire, mais celui ci est plus difficile, tous les trucs employés pour des groupes dordre par exemple 60 et moins lorsquon cherche des sous groupes normaux ne fonctionnent pas.

Merci de me donner une piste.

La matiere à utiliser doit etre en rapport avec les p-Sylow sous-groupes, orbites stabilisateur etc.

Ouimet21

[Ouimet21]

Quoi cest trop facile ou trop dur?

Personne pour me donner un ptit quelque chose pour commencer?

[Ouimet21]

Pourquoi tu peux dire que G est générer par 4 elements

Pourquoi tu peux dire que H dordre 105 est generer par 3 elements

et pourquoi g\in G de la forme g=xt^ny implique que H est normal

Il manque des details...

[Ben314]

...Si , alors ...

Je ne sais pas où tu as trouvé une telle "formule", mais je te conseillerais vivement de la remettre à l'endroit où tu l'as trouvée et de l'oublier... :hum: :

Par exemple le groupe Sn des permutations est engendré par un 2-cycles (d'ordre 2) et un n-cycle (d'ordre n) et Sn est d'ordre n! qui est un chouilla plus grand que 2n !!!

Par contre, ce qui est vrai, c'est que tout sous groupe d'indice 2 est forcément distingué donc si on exhibe un sous groupe d'ordre 105, il sera forcément distingué.

[Ben314]

Bon, j'ai fini par "tricher" en regardant dans Bourbaki : c'est un des exercices, mais il y a une indication :

Considérer l'application qui, à tout s de G, associe la signature de la permutation x->sx (de G dans G).

Avec l'indication, c'est assez simple...