Algbre linéaire L2

[lalila]

Bonjour,
j'ai un problème avec un exercice :
soit f un endomorphispe de R4 dont la matrice ds la base canonique est
M = ( 2 0 2 0
-1 0 -1 1
-2 -1 -2 1
-3 -3 -3 4 )
il fallait déterminer pour la première question une base dans laquelle f est représenté par une matrice diagonale D
j'ai cherché le polynome caractéristique de M j'ai trouvé Pm(T)= (T-1)(T-2)(1-T)T
donc j'en ai déduit
D= ( 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2 )

ensuite il faut montrer que D se décompose en une combinaison linéaire de matrices D = a1D1 + a2D2 + a3D3
où D1, D2, D3 sont des matrices telles que D²(indice i)= D(indice i) pour i de 1 à 3, telles que D(indice i)*D(indice j) = 0 lorsque i est différent de j et telles que D1+ D2+ D3 = I4 la matrice identité 4x4.

Avec toutes ces conditions je m'en sors plus...
est-ce que vous pouvez m'aider ??
merci d'avance

[Galt]

Tu as trouvé la matrice D, mais tu n'a pas déterminé la base dans laquelle f avait pour matrice D (la base de vecteurs propres).
Tu dois résoudre f(x)=0, f(x)=x et f(x)=2x.
Tes matrices sont les matrices
D1 : un 1 en haut à gauche, des zéros ailleurs
D2 : un 1 en place 2,2, un 1 en place 3,3, des zéros ailleurs
D3 : un 1 en bas à droite.
Je te laisse chercher pourquoi
Bonne continuation
Galt

[lalila]

il faut que je cherche les espaces propres associés pour la question un et en déduire une base de R4 formée des vecteurs propres de M ? je comprend plus trop...
et j'ai regardé D1 D2 et D3 sont bien les bonnes mais alors pourquo? ça j'ai pas trouvé ...