D'Alembert à Cauchy

[S@T-Vision-@li]

Soit Un une suite à termes dans IR+

Montrer que si Un+1/Un tend vers l ( réel ) alors racine nième de Un tend vers l.

[Ben314]

Salut,
ça se fait (relativement bien) avec la définition de la limite :
Comme tend vers L, pour tout , il existe un tel que, et ] et ça te vend qu'il existe un N' tel que,

P.S. Dans le truc çi dessus, le minorant n'est cohérent que si .
Mais si L=0, comme il suffit de majorer, on n'a pas besoin du minorant.

[S@T-Vision-@li]

Merci pour ta réponse .

j'ai utilisé le lemme de l'escalier pour ce résourdre :
si Un+1 - Un -> l alors Un/n -> l
( sa démonstration se fait en faisant intervenir la moyenne arithmétique de un+1 - un , la moyenne de Césaro .. )

puis on a par hypothèse Un+1/Un -> l
et Un > 0 d'après l'hyp
passons par ln à ln(Un+1) - ln(Un) -> ln(l)
ainsi :
ln(Un)/n -> ln(l)
donc
ln(Un) -> ln(l^n)
passons par exp à
un -> l^n
le résultat en découle
non ?

[Ben314]

Ca m'a l'air à peu prés correct, sauf que :

1) "ln(Un) -> ln(L^n)" ne veut rien dire (la limite lorsque n->oo ne dépend évidement pas de n !!!)
mais si tu écrit à la place que ln(Un)/n-ln(L)->0 ça marche.

2) Il faut que L>0 pour que tout ça ait du sens.

[S@T-Vision-@li]

l est bien évidemment > 0 car la suite l'est non ? ( c'est e que j'ai oublié de mentionner dans l'énoncé )

[Ben314]

l est bien évidemment > 0 car la suite l'est non ? ( c'est e que j'ai oublié de mentionner dans l'énoncé )

Il me semble bien que la suite (super compliquée...) est à termes strictement positifs or elle tend vers...

[S@T-Vision-@li]

tend vers 0 :mur:

[Ben314]

Un truc à "se rappeler", c'est que les inégalités larges "passent à la limite" (i.e. si Un>=a pour tout n et que la suite c.v. vers L alors L>=a) mais pas les inégalités strictes.

[S@T-Vision-@li]

Oui c'est clair . On peut même prouver que Si pour tout n E IN , Un E ]a,b[ alors si elle converge , sa limite est dans [a,b]