D'Alembert-Gauss par homotopie

[Nightmare]

Salut à tous !

Je lis la preuve suivante, résumée, du théorème de d'Alembert-Gauss :

Objets :
unitaire de degré

les lacets définis par



la projection canonique.

Démo :

On montre que les applications définissent des homotopies de lacets entre respectivement et , et .

L'auteur montre ensuite que si l'on peut restreindre l'espace d'arrivé des lacets à (ie si P ne s'annule pas), alors ils ont même indice.

Pour cela, il emploie l'argument suivant :

(raisonnement identique pour i), continue, se relève à en une application . L'indice du lacet est alors donné par

L'application est alors continue sur le connexe [0,1], à valeur dans l'espace discret Z donc constante. CQFD

Je ne comprends pas du tout l'argument quoté :

1) Pourquoi h admet-elle forcément un relèvement à ? (Et pourquoi cet ensemble particulièrement?)

2) D'où vient cette expression de l'indice du lacet?

Merci à vous :happy3:

[Ben314]

Salut (re ?)

1) Pourquoi h admet-elle forcément un relèvement à ? (Et pourquoi cet ensemble particulièrement?)

En fait, est ce que l'on appele le (unique à homéo. prés) revètement universel de et, (quasi) par définition d'un revètement universel, on peut relever toute fonction de dans en une fonction de dans .
Bon, évidement, si on ne sait pas ce qu'est un revètement universel, ça aide pas bien à comprendre...
Dans ce cas (revétement universel = ???) tu peut montrer "à la main" que les lacets se relèvent en utilisant le fait que localement, il existe des déterminations du logarithme (et donc de l'argument) dans . Puis tu conclue sur l'existence d'un relèvement "global" du laçet en utilisant la compacité de [0,1] (et donc de son image par )

2) D'où vient cette expression de l'indice du lacet?

Pour moi, c'est cette définition là [qui peut s'appliquer à tout lacet continu] et pas celle avec une intégrale [contenant du et donc demandant que soit par morceau] qui est la plus générale et aussi qui la plus proche de la notion intuitive "indice = nombre de tours que fait la courbe autour du point".
Pour ta question, tu peut soit vérifier (c'est instructif) que cette notion d'indice a bien les propriétés que l'on attend d'elle :
- Valeur dans Z
- Continuité (en prenant la norme "sup" sur les lacets) donc invariant à homotopie prés.
- Donne comme indice 'n' pour le lacet
OU BIEN vérifier que, dans le cas des courbes par morceaux, cette notion d'indice coïncide avec celle que tu as du voir en "fonctions analytiques" avec une intégrale et du

[Nightmare]

Re Ben !

Merci, j'ai tout compris ! J'ai réussi à montrer l'existence du revêtement (sans utiliser l'existence de déterminations du logarithme cela dit)

Pour l'expression du lacet c'est bon aussi.

Je ne connaissais pas cette démo de d'Alembert Gauss, très jolie en tout cas.

Merci
:happy3:

[Ben314]

C'est la seule preuve que je connaisse que l'on peut faire "avec les mains", c'est à dire pour essayer d'expliquer à un "pas trop matheux" le resultat.
On regarde les lacets .
Pour r tout tout petit, cela fait un tout petit lacet autout de P(0) (que l'on suppose non nul) donc le lacet ne fait pas du tout le tour de l'origine (tout petit gribouillage sur un papier pour expliquer)
Pour r trés trés grand, l'approximation du polynôme par son terme de plus haut degrés montre que le trés trés grand lacet fait n=deg(P) fois le tour de l'origine (trés gros gribouillage sur le même papier)
Aprés, ben... faut bien qu'entre les deux extrèmes il y ait certains lacets qui passent exactement par l'origine !!

[Ben314]

J'ai réussi à montrer l'existence du revêtement (sans utiliser l'existence de déterminations du logarithme cela dit)

Par curiosité, tu fait comment (dans les grandes lignes) ?

[Nightmare]

Je fais localement, ligne par ligne puis bande par bande et je recolle les bande. C'est pas très dur, juste technique.

Globalement tout vient de là :

Je note le disque ouvert de centre et de rayon . Pour j fixé, deux termes consécutifs de la suite ne sont jamais disjoints. Je peux trouver (En fait ça j'en suis un peu moins sûr ...) une suite finie de sections de la projection canonique telle que, deux sections consécutives restreintes à sont égales.

Je considère alors (qu'on définit sur des ensembles type [0,1]x[a(j),a(j+1)] puis qu'on recolle sur [0,1]² tout entier). C'est presque un relèvement, reste à retirer un certain terme c(j) que je n'arrive d'ailleurs pas à définir correctement je viens de me rendre compte...

Je continuerai de réfléchir après manger.

:happy3:

[Ben314]

Eh Ben....
En fait, tu est en train de reconstruire "à la main" à peu prés toute la théorie des relèvements (donc en particulier, tu reconstruit le Log...)

Pour tes "Di,j", je te rapelle que tu ne cherche pas à recouvrir C* tout entier (d'ailleurs, tu n'y arrivera pas jusqu'au bout, sinon, ça serait pas la peine de construire des revètement) mais uniquement à recouvrir gamma([0,1]) qui est beaucoup plus petit (mais il faut faire attention à ce que l'on écrit au cas ou le lacet gamma passe plusieurs fois au même endroit : il faut utiliser des sections différentes).
En résumé, tes sections, tu les construits de proche en proche en suivant la courbe. Les "constantes" c_j se définissent au fûr et à mesure de "l'avancement" sur le chemin...

[Nightmare]

Eh Ben....

Tu t'interpelles tout seul ? :lol3:

En tout cas je ne sais pas si je suis en train de "refaire toute la théorie du relèvement" mais c'est comme ça que j'ai appris à faire (enfin en TD on a vu ça qu'une fois, donc je n'ai pas non plus de grosses références en matière de méthodes sur les constructions de relèvements !)

[Ben314]

Normalement, temp qu'on ne relève que des lacets, je trouve qu'avec un petit dessin, on voit assez bien ce qu'on fait.
C'est un peu plus chiant à visualiser quand on relève des homotopies de lacets : il faut voir comment on procède sur un quadrillage de [0,1]² ce qui est un peu moins visuel qu'un bète découpage de [0,1]...

[Nightmare]

C'est une notion un peu nouvelle pour moi et ton dernier post confirmes un peu l'impression que j'en ai, à savoir que dès qu'un dessin ne suffit plus, ça devient vite compliqué à écrire.

Au fait j'ai oublié de rebondir sur ton post de 17h55, mais il y a un truc qui me chiffonne quand même. Où intervient mon lacet dans ton explication? Il ne fait pas parti de tes sauf erreur.

[Ben314]

Mon post de 17h55, c'était juste pour "expliquer avec les mains" le principe de la preuve : si considère "mon" chemin il a forcémént un indice nul, vu qu'il est constant (c'est "ton" chemin ) par contre, si est trés grand, son indice est le degrés du polynôme P.
Je pense que dans "ta" preuve, à un endroit, tu doit montrer que, si r est suffisement grand, le lacet est homotope (dans ) a ton lacet .

Ce post (de 17h55) était juste là pour montrer que l'idée de la preuve est somme tout assez simple, par contre, une rédaction "bien propre" consiste à faire comme on te demande de le faire.

Comme tout est bien gentil (i.e. dérivable tant qu'on veut) on peut aussi rédiger la preuve en utilisant la notion d'indice "avec une intégrale" : Pour "mes" lacets , il est façile de voir (avec les intégrales) que :
1) L'indice de gamma_0 est nul
2) L'indice de tend vers n=degrés(P) si r->oo (c'est une permutation limite/intégrale)
3) Si P(z) est non nul pour tout z de C, la fonction r->indice_de_gamma_r est continue (intégrale dépendant d'un paramètre)

[Nightmare]

Re Ben !

Je reviens un peu sur les relèvements. On a montré que, pour des homotopies de lacets, deux lacets homotopes ont même indice. La réciproque est-elle vrai? A savoir, deux lacets ayant même indices sont-ils homotopes? J'ai l'impression que c'est vrai seulement pour des homotopies de chemins, mais je n'arrive pas à l'écrire. :s

Edit : Pour ma question, je considère bien sûr qu'on arrive toujours dans C*

[Ben314]

Normalement, c'est pas super dur :
Partant d'un lacet quelconque (en fait écrire le lacet sous cette forme signifie que je l'ai déjà relevé)
Tu montre trivialement qu'il est homotope (dans C*) au lacet puis tu montre facilement que ce dernier lacet est homotope au lacet où est l'indice du lacet.
Tout autre lacet de même indice est lui aussi homotope au lacet donc homotope à

En fait, la conclusion est que tout lacet de C* est homotope à un avec dans .
Si tu as du temps libre et que tu veut "prendre de l'avance" sur tout ce qui est revètement et groupe fondamental (c'est l'ensemble des lacets à homotopie prés), tu peut regardre ça :
http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/courstopalg.pdf
Perso, j'aime beaucoup...

[Nightmare]

Niquel effectivement c'était pas dur, et j'en déduis que le groupe fondamental de (C*,un point) est isomorphe à Z. (Et qu'en particulier C* n'est pas simplement connexe mais on le savait déjà !)

Merci :lol3:

Edit : Cela dit, lorsque j'écris la démo, j'utilise déjà C* est simplement connexe.

[Ben314]

Niquel effectivement c'était pas dur, et j'en déduis que le groupe fondamental de (C*,un point) est isomorphe à Z.

Tout à fait thierry, tout à fait.

Et si on enlève deux points à C, quoicavaêtre le groupe fondamental ?
(Réponse dans le michèle Audin...)

[Nightmare]

Je viens de le lire, ils parlent de groupe libre à deux générateurs. Kézako?

Au passage, je suppose qu'on a la propriété magique que tout groupe est un groupe fondamental?

[Ben314]

Je viens de le lire, ils parlent de groupe libre à deux générateurs. Kézako?

Grosso modo (enfin, pas temps que ça), tu te donne un "alphabet" par exemple de deux lettres et et tu considère tout les 'mots' que tu peut faire avec , , et
Par exemple
Ensuite tu "identifie" (dans la vrai vérité, c'est évidement un quotient) des mots qui se déduisent l'un de l'autre par "simplification" du type (""=le mot "vide" i.e. composé de 0 lettres).
Par exemple le même qu'au dessus vaut .
AUCUNE autre simplification n'est autorisée (c'est pour cela que le groupe et dit "libre" : il n'y a aucune relations entre et )
La loie de groupe est (évidement) la juxtaposition des mots.

Par exemple (c'est le seul cas 'trivial') le groupe libre à un générateur est . Par contre le groupe libre à deux générateur est BEAUCOUP plus gros que (dans la litérature, on voit des fois écrit que est le groupe libre commutatif deux générateurs).

Au passage, je suppose qu'on a la propriété magique que tout groupe est un groupe fondamental?

Sauf erreur, oui, mais il me semble que le "cas d'un groupe quelconque" n'a pas beaucoup d'intérêt : on construit un espace topo. (un peu bidon) qui as la propriété.
On as déjà suffisement de "grain à moudre" en regardant ne serait-ce que les groupes fondamentaux de variétés "gentilles".

[Ben314]

Bon, je viens de regarder l'appendice du michèle audin sur les groupes libres, c'est un peu "succint" et peut-être un peu théorique...
Tu risque de trouver mieux sur le net...
Il manque essenciellement un théorème trés "rassurant" mais pas du tout évident à démontrer :
"Tout mot admet un unique représentant réduit, c'est à dire ne contenant pas de suite du type ou avec une lettre quelconque"
L'existence est triviale, mais l'unicité ne l'est pas...

[Nightmare]

Salut Ben !

J'ai compris le principe des groupes libres. En fait j'avais déjà vu un peu ça l'année dernière en cours de ce qu'on appelait "structures discrètes", mais je n'avais jamais mis le nom de "groupe libre" dessus.

Bref, et ici les "lettres" sont deux lacets, chacun tournant autour d'un des deux points considéré si j'ai bien compris?

[Ben314]

Salut Ben !

J'ai compris le principe des groupes libres. En fait j'avais déjà vu un peu ça l'année dernière en cours de ce qu'on appelait "structures discrètes", mais je n'avais jamais mis le nom de "groupe libre" dessus.

Bref, et ici les "lettres" sont deux lacets, chacun tournant autour d'un des deux points considéré si j'ai bien compris?

Tout à fait.
On se donne un point de base B (distinct des deux points enlevés) et on considère deux lacets a et b "super simples" qui font exactement une fois le tour de chaque point.
Il n'est pas super dur de montrer que tout lacet de base B est homotope à un 'mot' en a et b (techniquement parlant, on montre que l'espace topo formé de la réunion des supports de a et b, qui s'appele un bouquet de deux cercles est un "rétract par déformation" de C privé des deux points)
Par contre là où ça ce corse sévère, c'est pour montrer l'unicité du 'mot' : il faut montrer qu'un mot non trivial en a, b n'est jamais homotope au lacet constant.
Pour un lacet du type aba^{-1}b, c'est trivial car son indice par rapport au point entouré par b est non nul.
Par contre, pour un lacet du type aba^{-1}b^{-1}, c'est pas trivial...
Si tu imagine ce lacet comme une ficelle (circulaire) et les deux points otés de C comme des "clous" qui empèchent la ficelle de passer, il est clair que, si on enlève un des deux clous, la ficelle se détache, mais pourquoi diable ne veut elle pas se détacher lorsque l'on garde les deux clous ?
Cette 'ficelle' ressemble beaucoup aux "anneau borroméens" :
http://fr.wikipedia.org/wiki/N%C5%93ud_borrom%C3%A9en

La seule preuve que je connais du résultat final (i.e. le groupe est bien le groupe libre sen a et b : il n'y a aucune formule non triviale en a et b qui produise un lacet trivial) est le théorème de Van-Kampen.
Sauf que je ne sauras pas pas expliquer "avec les mains" ce théorème...

P.S. Je pense que tu as compris que mon expression "avec les mains" veut dire "sans rentrer dans les détails et en insistant sur le coté intuitif des choses". Sauf qu'en général, pour (bien) expliquer un truc "avec les mains", il faut avoir (beaucoup) de recul, et je ne pense pas en avoir assez...