D'Alembert-Gauss par homotopie

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 13:37

peu importe ton recul, je comprends bien c'est l'essentiel.

Concernant la preuve avec Van-Kamper, voir si j'ai bien compris : on voit C comme

. Le théorème de Van-Kamper nous dit que le groupe fondamental est le produit libre des groupes fondamentaux de (C-{a}) et de (C-{b}) qui sont isomorphes à Z et notre groupe fondamental est le produit libre de Z par lui même qui est bien le groupe libre à deux générateurs.

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 13:42

Nightmare a écrit:peu importe ton recul, je comprends bien c'est l'essentiel.

Concernant la preuve avec Van-Kamper, voir si j'ai bien compris : on voit C comme . Le théorème de Van-Kamper nous dit que le groupe fondamental est le produit libre des groupes fondamentaux de (C-{a}) et de (C-{b}) qui sont isomorphes à Z et notre groupe fondamental est le produit libre de Z par lui même qui est bien le groupe libre à deux générateurs.

C'est pas tout à fait ça : la tu procède comme si tu cherchais le groupe fondamental de C tout entier.

Il faut d'abord écrire C privé des deux points comme une réunion de deux espaces topo : tu prend les demi plans (privés des deux points) délimités par la médiatrice des deux points plus un petit peu de rab (pour que les espaces soient ouverts et que le point de base soit commun au deux).

Ensuite, tu vérifie que le groupe libre de chacun des demi plan a bien un groupe fondamental isomorphe à Z (c'est facile, tout lacet est homotope à un lacet dont le support est sur un cercle entourant le point enlevé).

Tu vérifie que l'intersection des deux demi plans privés des points est connexe par arc (indispensable pour le théorème) et tu regarde le groupe fondamental de l'intersection : il est trivial car l'ensemple est convexe (donc étoilé sur le point de base et ça permet de "ratatouiller" tout les lacets en lacet constants.

Enfin tu appplique Van Campen : le groupe fondamantal de la réunion des demi plans privé des points (c'est à dire de C privé de deux points) est isomorphe au produit libre des deux groupes fondamentaux (donc le groupe libre à deux générateurs) quotienté par le groupe libre de l'intersection (donc ici, quotienté par... rien)

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 14:12

Ben314 a écrit:C'est pas tout à fait ça : la tu procède comme si tu cherchais le groupe fondamental de C tout entier.

Et le pire est qu'en l'écrivant j'étais persuadé que (C-{a})U(C-{b})=C-{a,b}... quelle honte !

Merci pour l'explication, je vais me pencher dessus et reviendrai si j'ai des questions ! :happy3:

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 15:53

Ok, c'est bon pour la démo, pas très difficile, fallait juste trouver le bon recouvrement.

Merci encore Ben (si tu veux venir enseigner à Jussieu, tu auras au moins un élève content de t'y voir :lol3: )

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 16:11

Bon en fait j'ai une dernière question. Je lis sur wiki qu'on a un lien (en tout cas un morphisme sujectif, selon le théorème d'Hurewicz) entre groupe fondamental et premier groupe d'homologie et que par exemple pour un espace simplement connexe, ces derniers sont égaux. A vrai dire, je comprends pas car pour moi les deux notions n'ont pas vraiment de rapport ... As-tu une idée (à la main :lol3: ) ?

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 16:58

De mémoire (i.e. sans rien vérifier donc...)
Les calculs des groupes d'homologie sont "intutivement" trés proches des calculs des groupes fondamentaux.
le groupe fondamental dont on parle depuis le début correspond aux classe d'homotopies des "lacets", c'est à dire des fonctions gamma de [0,1] dans X (esp. topo) telles que f(0)=f(1)=Xo fixé on note ce groupe Pi_1(X).
On définit de même Pi_d(X) en partant des fonctions de [0,1]^d dans X qui vallent Xo sur les "bords" de [0,1]^d. Pour d>1, ces groupes sont forcément commutatifs, mais pas du tout façiles à calculer et ils ont des "comportement bizare" sur les sphères.

Pour moi, l'idée de tout ça est de "compter les trous" d'un espace topologique.
Par exemple, dans R^3, si tu enlève un point, le Pi_1 reste le même : il n'empèche pas les lacets de se contracter, mais il en irait différement si on s'intéréssait à des "sphères" de R^3 (c'est la notion de Pi_2) : une sphère contenant le "point enlevé" ne pourrait plus se "contracter" en un point. Tu vérifiera (naïvement) que, si on enlève une droite de R^3, cela "créé du Pi_1", c'est à dire que cela permet de "nouer" des lacets, mais par contre, cela ne permet pas de "nouer" les sphères (elles ne peuvent pas contenir la droite.

Pour revenir au sujet, les groupes d'homologie essayent de calculer à peu prés la même chose : le nombres de "trou" de l'espace, mais avec une définition assez différente (beaucoup plus algébrique) et, au lieu de fabriquer des groupes, on fabrique des A-modules sur un anneau A (un A-module pour chaque "dimension" d).
L'anneau A que l'on choisi au départ peut être parfaitement quelconque.
Si on prend A=Z, on fabrique donc des Z-module, c'est à dire des groupes commutatifs et, il s'avère que celui correspondant à d=1 est en fait l'abélianisé du Pi_1 (l'abélianisé d'un groupe est son quotient par le plus petit sous groupe distingué qui contient tout les commutateurs aba^-1b^-1 du groupe).

Il me semble me rapeller que, modulo des hypothèses sur les d-1 premier groupes d'homologie, on a aussi un lien entre le d-ième groupe d'homologie et le Pi_d (à vérifier...)

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 17:13

D'accord, donc en gros les notions sont un peu identique, sauf que l'on perd un peu de renseignement en passant de l'une (homotopie) à l'autre (homologie).

Mais inversement du coup l'étude des groupes d'homologie (donc des invariants homologiques) facilitent l'étude des groupes d'homotopies (invariant homotopiques).

Bref, je commence à comprendre même si c'est compliqué. Juste une chose qui m'a chiffonnée dans ton post, tu prétends que les groupes fondamentaux sont toujours commutatif ? Quid de notre produit libre Z*Z ? Il n'est pas commutatif à moins que je ne me trompe ?

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 17:14

Oups ! Pour d strictement supérieur à 1, au temps pour moi :happy3:

Edit : D'ailleurs c'est bizarre ça? Pourquoi sont ils forcément commutatifs, sauf les premiers ?

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 17:26

La comutativité se "voit sur un dessin" :
Quand tu juxtapose deux segments (correspondant aux ensembles de définition de deux lacets), l'ordre dans lequel tu les juxtapose est trés important : on ne peut "échanger" leur positions respectives.
Lorsque tu as deux carrés (correspondant aux ensemble de définition de deux fonction de [0,1]² dans X) et que tu les juxtapose, tu peut immaginer en procédant par homotopies, que tu diminue la taille des deux carrés dans le grand rectangle formé par les deux carrés avant leur diminution (rappel, toutes les fonctions considérées vallent Xo au "bord" de leur ensemble de définition : sur le "vide" créé entre les deux petit carrés et le grand rectangle, la fonction prend évidement la valeur Xo partout).
Maitenant que les carrés sont suffisement petits dans le rectangle, tu as suffisement de place libre pour les échanger (sans qu'ils se chevauchent) puis tu les "refait grossir" et tu as démontré que... le Pi_2 est commutatif !

par **Nightmare** » 09 Fév 2010, 17:32

C'est clair pour moi ! Merci encore Ben, tu facilites grandement ma compréhension de cette notion un peu difficile au premier abord.

:happy3:

par **Ben314** » 09 Fév 2010, 19:13

En ce qui me concerne perso, la topo. algébrique est une des branches des maths que je préfère : manipuler des A-modules libre de dimension colosale (groupe d'homologie) ou des groupes "tout bizares tordus" (groupe fondamental) juste pour prouver qu'on ne peut pas détacher les anneaux borroméens les uns des autres...

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