Aide pour Devellopement limités

[xavierrff]

bonsoir,

Pouvez vous me donner un exemple concret pour trouver un DL au voisinage de 1, ou bien de l'infinit , ce avec un changement de variable. Je n'arrive pas à trouver comment sa fonctionne.

Merci

[Joker62]

développement limité en x0 , posé t = x - x0

Pour en +oo, posé t = 1/x

[xavierrff]

merci mais peux tu me donner un exemple stp

[Joker62]

Ben par exemple développement limité à l'ordre 3 de la fonction exp(x) en x0 = 2

Soit t = x - 2; quand x tend vers 2, t tend vers 0, et donc tu peux faire ton développement limité pour la variable t

On sait que exp(t) = 1 + t + t^2/2 + t^3/3! + o(t^3);

avec t = x - 2 on a exp(t) = 1 + (x-2) + (x-2)^2/2 + (x-2)^3/3! + o((x-2)^3)

[xavierrff]

ok merci c'est compris. Dans le cas de DL ordre 4, en 1 de f(x)=ln(x)/x,
dois-je faire un autre changement de variable pour me ramener à ln(1+x) et ainsi pouvoir utiliser la formule en 0?

[Joker62]

oui on connais ln(x+1) ça revient à un DL en 0 c'est pareil

[snotocs]

salut,

si l'on doit calculer le DL en + infini de xe^(1/x)

on connais le DL en 0 de e^t = 1 + t + t^2/2 + t^3/6 + t^4/24

je pose t = 1/ y, y = 1/t

le DL en + infini de e^y :
e^y = 1 + 1/y + 1/2y^2 + 1/6y^3 + 1/24y^4

donc e^(1/x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24
et xe^(1/x) = x + x^2 + x^3/2 + x^4/6 + x^5/24

Mon raisonnement est -il bon ou alors me suis je planté dans mes changements de variables ?

[abcd22]

Tu t´es planté : on pose y = 1/x et on écrit le développement limité en 0 de e^y (y tend vers 0, t= y avec tes notations), en fait tu as mélangé x et y (et tu as oublié d´écrire le o aussi), dans le résultat que tu donnes les termes en x sont de plus en plus grands alors qu´on devrait aller dans l´ordre des puissances décroissantes (dans les développements limités/généralisés, on range toujours les termes par importance décroissante, chaque terme doit être négligeable devant celui d´avant, quand x tend vers l´infini les puissances sont dans l´ordre décroissant(car au voisinage de l´infini x² est négligeable devant x³, x négligeable devant x²...), alors qu´au voisinage de 0 (ou de n´importe quel réel) on a les puissances dans l´ordre croissant).

[snotocs]

merci de ton aide.

est ce que tu veut dire que calculer le DL en + inf de xe^(1/x)

revient a calculer le DL en 0 de (1/y)e^y ?

[abcd22]

Exactement, sauf que quand on est en l´infini on dit plutôt développement généralisé (ou asymptotique, je sais plus exactement qui est qui, mais en tout cas c´est pas un développement limité).

[snotocs]

ok je vois.
je te remercie de ton aide.

[snotocs]

voila alors j'ai fini mon exo mais j'aimerais etre sur car je prefere eviter d'apprendre quelquechose de faux

il faut calculer de DL en + infini à l'ordre 4 de (x+1)e^1/(x+1) - xe^(1/x)

donc je dis que le DL en + inf de xe^(1/x) = DL en 0 de (1/y)e^y
avec y = 1/x

DL en 0
e^y = 1 + y + y^2/2 + y^3/6 + y^4/24 + y^4E(y) avec lim E(y) =0 quand y -> 0

de la je dit que DL en 0 de (1/y)e^y = 1/y + 1 + y/2 + y^2/6 + y^3/24 + y^4/120 + y^4E(y)

donc DL de xe^(1/x) en + inf
xe^(1/x) = x+ 1 + 1/(2x) + 1/(6x^2) + 1/(24x^3) + 1/(120x^4) + x^4E(x)


et
DL en +inf
(x+1)e^(1/(x+1)) = (x+1) + 1 + 1/(2(x+1)) + 1/(6(x+1)^2) + 1/(24(x+1)^3) + 1/(120(x+1)^4) + x^4E(x)

Est-ce que cela est juste pour le moment ?

je factorise tout sa et je fait la soustraction et puis c bon ?

merci d'avance