Aide exemple du cours

[Archytas]

Salut dans mon cours de théorie des représentations y a cette propriété :
Soit G un groupe et une représentation de G dans GL(V), V un espace vectoriel. Soit une transformation linéaire telle que alors
déjà je pense que j'ai mal recopié parce que les parenthèses de la première condition me semblent pas normales
Et ensuite ce que je voudrais avoir c'est un peu plus de détails sur l'exemple qui suit. Le prof a écrit:
Exemple : Dans les matrices nxn complexes, l'ensemble des matrices qui commutent avec toutes les autres est Vect(I) avec I la matrice identité. Déjà c'est bizarre parce que toutes les matrices diagonales commutent entre elles non ? pas seulement celles de la forme k.I... et ensuite je vois pas quelle représentation de quel groupe employer...
Merci !

[Ben314]

Salut,
Si par "transformation linéaire" tu entend application linéaire de dans , alors il est bien clair que ton truc ne veut rien dire. Donc soit "transformation linéaire", c'est pas ça, soit ton est a remplacer par (idem à droite du = où il manque le symbole , mais on peut éventuellement considéré qu'il est "omis" comme si c'était un produit matriciel. Évidement, dans ce cas là, il faut aussi l'omettre à gauche)

Mais même comme ça, ça me semble être du "grand n'importe quoi", ou alors la définition que tu as d'une Représentation de groupe n'est pas celle usuellement employée.
Le premier exemple (trivial) qu'on donne de "représentation de groupe", c'est la "représentation unité" qui envoie tout les élément sur de .
Dans ce cas là,l'hypothèse pour tout te donne (uniquement) l'énorme information que qui va clairement super te renseigner concernant la nature de ...

Bref, il te manque des truc essentiels dans ton "théorème" (ta représentation ne serait pas, par hasard, supposée "irréductible" ?)

[Archytas]

Nope... c'est pas écrit... ce cours est un peu étrange. On a un livre de référence "Algebra" de S. Lang en anglais mais très souvent je vois pas le rapport entre la partie du livre sur laquelle est sensée s'appuyer le cours et le cours en lui même. Le prof est chinois et mes amis italiens m'ont dit qu'il a du mal avec l'italien (moi je comprends pas assez bien l'italien pour constater que c'est vrai ou non ^^), sachant que son livre à lui est en chinois, il fait peut être des erreurs de traduction des fois... enfin je vois souvent des omissions, des répétitions, des énoncés très très longs par rapport à ceux de Wikipédia ou du bouquin de référence et autres dans ce cours mais je pense que c'est à cause de la traduction chinois-italien qui doit pas être super évidente à faire pour lui ^^. Bon cela dit si vous m'affirmez qu'il faut que la représentation soit irréductible je vous crois sur parole et je le rajoute de ce pas dans mon cours !

[Archytas]

Le lemme précédent est :
Lemme de Schur : Soit A un anneau contenant C, S un A-module simple. Alors End(S)=C (isomorphe aux complexes)
Si ça peut aider

[Robot]

Le mot important est simple (= irréductible pour une représentation linéaire).

[Ben314]

Plutôt que de rajouter des truc plus ou moins "au pif", en faisant confiance à telle ou telle source, tu ferait nettement mieux de chercher par toi même la preuve du bidule en question.
Sauf erreur, un truc qui marche (preuve facile), c'est

Si est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps algébriquement clos , une représentation irréductible d'un groupe et une application linéaire de dans telle que (i.e. est un "-morphisme") alors pour un certain

- On peut éventuellement enlever les (vision matricielle du bidule).
- Je sais pas si on peut faire "mieux" comme théorème, mais tu peut (voire tu doit) commencer par :
1) Faire la preuve du théorème en question (pas trop dur).
2) Trouver des contre exemple dans le cas où la représentation n'est pas irréductible (trivial) et dans le cas où K n'est pas algébriquement clos (pas très dur).

P.S. Après vérification sur un coin de brouillon, la preuve fait... 3 lignes... donc a trouver.
Et la recherche de contre exemples (très simples ici), c'est la meilleure façon de manipuler des représentations pour se faire une idée du bidule.

[Archytas]

Ok merci à vous deux
Je comprends rien à ce cours et l'exam est demain, j'ai pas trop le temps pour ça... le cours étant pas très fourni en démonstration je peux pas me permettre de les faire par manque de temps même si je suis totalement d'accord avec vous pour dire que ça plus les exercices c'est le seul moyen de comprendre et maîtriser le cours. Mon exposé sur les nombres constructibles m'a pris (beaucoup) trop de temps et je suis dans une merde noire pour demain alors je vais juste effacer l'ancien théorème et faire une confiance aveugle au Théorème de Ben314 publié à 14h25 haha .
Merci beaucoup Ben et Robot, c'est super l'aide que vous fournissez sur ce site !

[Ben314]

Exemple : Dans les matrices nxn complexes, l'ensemble des matrices qui commutent avec toutes les autres est Vect(I) avec I la matrice identité. Déjà c'est bizarre parce que toutes les matrices diagonales commutent entre elles non ? pas seulement celles de la forme k.I... et ensuite je vois pas quelle représentation de quel groupe employer...

a) Le fait qu'une matrice diagonale D donnée commute avec toutes les autres matrices diagonales ne te dit évidement pas que D commute avec toutes les autres matrices (quelconques).
b) La "représentation" utilisé ici, elle me semble quand même "pas bien diabolique" : tu prend le groupe et la super astucieuse représentation égale à... l'identité...
Y'a plus qu'à vérifier (trivial) que cette représentation est irréductible.

[Archytas]

Ok super ça va me faire un entrainement ! Exact j'avais pas pensé au fait qu'elles commutaient pas avec toutes les autres