Aide en analyse différentiabilité

[sara.13]

Bonjour à tous
J'aurais besoin d'un peu d'aide en analyse, j'ai un peu de mal :triste: , j'espere que quelqu,un pourra m'aider...

Voila l'énoncer:

Soient u(x,y),v(x,y) deux fonctions de classe C(R2) qui verifient les equations de Cauchy–Riemann:
;)u.;)x = ;)v.;)y & ;)u.;)y = ;) ;)v.;)x.
Considerons l’application F : R2;) R2, definie par F(x,y) = (u(x,y),v(x,y)).

(a) Justifier la différentiabilité de F et montrer que la matrice de Jacob Jac(F) est non-degeneree en (x0,y0) si et seulement si elle est non-nulle en ce point.

(b) Demontrer que si Jac(F)(x0,y0)= 0, alors il existe un voisinage U de (x0,y0) et un voisinage V de F(x0,y0), tels que F : U ;) V est une bijection.

(c) Posons ;)(u,v) = (U(u,v),V (u,v)) := F(;)1)(u,v) (inverse de F) (defini localement par ;)(u(x,y),v(x,y)) = (x,y), voir (b)). Justifier la derivabilite de
U(x,y) et V (x,y) et demontrer qu’elles ilesequations de Cauchy–Riemann.


Pour le a) J'ai dit que F(x,y) est différentiable puisque elle est composée de 2 fct differentiable u(x,y) v(x,y) qui appartiennent a C(R) par déf. et pour le jacobien kan je le calcule ca me donne (;)v.;)y)^2 + (;)v.;)x)^2 qui est positif sauf quand les dérivées sont égales a 0 donc la matrice est non degeneré sauf quand les dérivées sont égales a 0..

pour le b) j'ai utiliser le theoreme d'inversion locale

en c) je suis perdue .. g commencer a écrire U(x,y) en fonction de ;)(u(x,y),v(x,y)) car c'Est égal a (x,y) et dit ke c dérivable car c une composée de fonction derivable mais pour prouver que c cauchy la dérivée que j'ai faite est longue et elle ne se simplifie pas ..

Merci!! :happy2:

[R.C.]

Bonjour,
Pour les deux premières question, tu m'as l'air d'avoir compris. Pour la dernière, tu as (U(u,v),V (u,v)) := F(;)1)(u,v). Donc si tu calcules la différentielle de F(-1) (c'est-à-dire l'inverse de la matrice DF en un certain point), tu vas obtenir directement les différentes dérivées partielles. Et inverser une matrice 2x2, tu vas avoir un coeff 1/Jac(F)(un certain point), qui n'est pas super important pour les relations que tu veux montrer, et ensuite, ben je te laisse faire le calcul.

[sara.13]

Merci beaucoup!
en fait pour le c) j'ai commencer à calculer J(F-1(x,y)) = J-1(F(x,y)) qui est assez simple mais j'ai des dérivées en fonctions de petit u et v et non pas grand U et V. Est ce que je px dire que u et v satisfaisant cauchy riemann alors U et V le sont aussi car dans le cas contraire le jac ne serait pas différent de 0 ?