Adhérence, intérieur...

[pau]

Bonsoir,
J'ai un problème avec un exercice d'analyse qui consiste à déterminer (et prouver) l'adhérence, l'intérieur, l'ensemble des points isolés, l'ensemble des points d'accumulation et la frontière de l'ensemble suivant:
A={(1/n)+(1/m),n,m appartiennent à N-{0}}. Je n'ai pas trop d'idée pour comment procéder trouver les ensembles demandés et démontrer les résultats obtenus.
Pouvez-vous m'aider svp, merci beaucoup

[totom]

Salut,
ton taux de reponse m' a fait te repondre malgré ma mediocre compétence en topologie. :zen:
Alors bon, on a un ensemble A qu'on peut supposer régit par la topologie induite par R.
adhérence, hé ben je dirais sans trop de conviction que puisque c'est censé être dans ce cas l'ensemble des limites de points de A, je dirais Au{0} qui est à priori bien fermé.
interieur, hé ben zou, A.
points isolés:c'est pas clair pour moi, mais tous les 1/n, n entier non nul n'estpas isolé, alors A\{(n+m)/(nm)] est isolé... à justifier mieux que moi!
A mon sens tout point de A est un point d'accumulation, mais mes competences topologiques sont limitées....je me repète mais je veux apprendre!
pour la frontière, je dirais {0}uA mais si tu peux éclaircir mes lanternes n'esite pas (là j'pense que j'ai faux mais j'essaye qd même car je suis ferru...d'echec!) .
Voila sincerement quand tu auras une correction rigoureuse fais moi signe car je voudrais connaitre les résultats voir si je suis une quiche en topologie... ces forums servent à aider même les gens qui repondent!... j'espere néanmoins avoir sussité un quelquonque interêt pour ces questions maths qui prennent parfois le dessus... soit cool et raconte moi, moi aussi je veux appredre!

[SimonB]

Pour l'adhérence, prends deux suites et telles que la suite converge et montre alors que la limite est du style (ce qui contient d'ailleurs tous les inverses des nombres entiers) ou 0.

Pour l'intérieur... Mmmh, je dirais à vue de nez que ça va être vide ; simplement parce que c'est inclus dans .

[abcd22]

Bonjour,
L'intérieur c'est le plus grand ouvert inclus dans A, tout ouvert de R contient un intervalle, A peut-il contenir un intervalle ?
Un point isolé est un point x de A tel qu'il existe un petit intervalle I de R tel que , et un point d'accumulation est un point de l'adhérence de A qui n'est pas isolé.
Pour trouver les réponses je pense qu'il faut se représenter graphiquement l'ensemble A, si on les place sur une droite en prenant d'abord n = 1, m >= 1, puis n = 2, m >=2, n = 3, m >= 3, ... on voit tout de suite les points d'accumulation qui apparaissent...

[ThSQ]

Mes connaissances en topo sont balbutiantes, mes suggestions quand même :





Tous les points sont isolés (c'est le + dur à mon avis) : on prend x=1/n + 1/m. Il y a un nombre fini de 1/a + 1/b avec a <= n et b <= m (a != n ou b != m). On peut donc minorer leurs distances à x. Les autres points sont au moins à min (1/n(n+1),1/m(m+1)).

Les points d'accumulation sont

Pour la frontière il suffit d'appliquer la définition.

[pau]

Merci pour vos réponses,
Avec vos indications, j'ai trouvé:
Adhérence=A U {0} U {1/n, n appartenant à N}
Intérieur=ensemble vide
Points d'accumulation={1/n, n appartenant à N} U {0} Points isolés=A (car =adhérence\points daccumulation)
Frontière=adhérence (car =adhérence\intérieur)
Cependant, j'ai un peu de mal à démontrer les points d'accumulation de façon rigoureuse et l'adhérence.
Pouvez-vous me donner quelques indications ?
Merci