Bonsoir, j'ai cet exercice à faire mais malheureusement comme l'énoncé est très court, il faut des idées directement. Et sans idée .. On bloque un peu! :id:
Voici l'énoncé:
Trouver le minimum de l'intégrale de 0 à 1 de f''² quand f décrit l'ensemble E des fonctions f de classe C² de [0,1] dans R vérifiant f(0)=f(1)=0 et f'(0)=a où a est un réel donné.
Si quelqu'un a une idée pour commencer je suis preneuse, merci d'avance :)
Minimum de fonction
6 messages
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par jlb » 19 Jan 2014, 19:29
je n'ai pas la solution mais avec Cauchy Schwartz appliqué à f'' et 1 tu peux trouver un minorant (f'(1)-a)² pour l'intégrale proposée si je ne me trompe pas. Du coup il faudrait trouver une fonction dans ton ensemble dont l'intégrale proposée donne (f'(1)-a)² ( peut être qu'un polynôme de degré 3 conviendra? en traduisant f(0)=f(1)=0, f'(0)=a et l'intégrale donnée vaut (f'(1)-a)² cela marchera peut-être?
par Ben314 » 20 Jan 2014, 17:10
Salut,
Perso, je pense que je commencerais bien par faire un "changement de variable" en posant
.
La fonction
doit donc être uniquement continue, la quantité à minimiser est \,dx)
et les contraintes disent que :
1)=a\ \Leftrightarrow\ f'(x)=a+\int_0^x f''(t)\,dt=a+\int_0^x g(t)\,dt\)
(donc pas de condition sur )
2)=0\ \Leftrightarrow\ f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt=\int_0^x\Big(a+\int_0^t g(u)\,du\Big)dt=ax+\int_0^x(x-u)g(u)\,du\)
(donc toujours pas de condition sur )
3)=0\ \Leftrightarrow\ a+\int_0^1(1-u)g(u)\,du=0\ \Leftrightarrow\ \int_0^1(x-1)g(x)\,dx=a\)
qui est donc la seule condition sur .
Considérons donc une fonction continue quelconque
telle que g(x)\,dx=a\)
et posons =g(x)-3a(x-1))
.
On a alors :
\,dx=\int_0^1\Big(h(x)+3a(x-1)\Big)^2dx=\int_0^1h^2(x)dx+6a\int_0^1(x-1)h(x)\,dx+9a^2\int_0^1(x-1)^2dx)
Maish(x)\,dx=\int_0^1(x-1)g(x)\,dx-3a\int_0^1(x-1)^2\,dx=a-3a\times\frac{1}{3}=0\)
donc
\,dx=\int_0^1h^2(x)dx+9a^2\times\frac{1}{3}\,\geq\, \frac{a^2}{3}\)
avec égalité ssi 
, c'est à dire =3a(x-1))
, soit encore =ax+3a\int_0^x(x-u)(u-1)\,du=ax(1-x)(1-\frac{1}{2}x))
Remarque :La fin de la preuve consiste en fait à introduire le projeté orthogonal du vecteur nul sur l'hyperplan affine des fonctions telles que g(x)\,dx=a)
(en prenant évidement pour produit scalaire f_2(x)\,dx)
\ )
Perso, je pense que je commencerais bien par faire un "changement de variable" en posant
La fonction
1)
2)
3)
Considérons donc une fonction continue quelconque
Mais
Remarque :La fin de la preuve consiste en fait à introduire le projeté orthogonal du vecteur nul sur l'hyperplan affine des fonctions
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par max2102 » 20 Jan 2014, 21:34
bonjour Ben314,
peux tu m'apporter quelques precision quant a l'etablissement de la deuxieme egalité suivante
f(0)=0\ \Leftrightarrow\ f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt=\int_0^x\Big(a+\int_0^t g(u)\,du\Big)dt=ax+\int_0^x(x-u)g(u)\,du\ (
merci
peux tu m'apporter quelques precision quant a l'etablissement de la deuxieme egalité suivante
f(0)=0\ \Leftrightarrow\ f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt=\int_0^x\Big(a+\int_0^t g(u)\,du\Big)dt=ax+\int_0^x(x-u)g(u)\,du\ (
merci
par max2102 » 20 Jan 2014, 21:35
Ben314 a écrit:Salut,
Perso, je pense que je commencerais bien par faire un "changement de variable" en posant
La fonction
1)
2)
3)
bonjour Ben314,
peux tu m'apporter quelques precision quant a l'etablissement de la deuxieme egalité suivante.
Il semblerai que tu ais inversé les dt et du mais comment obtiens tu (x-u)
Merci
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