Optimisation sans contrainte

[mattthhs]

Bonjour je voudrai savoir quels résultats vous trouvez car ceux que je trouve me paraissent "étranges". Optimiser la fonction suivante f(x,y,z) = (x² + 1)^½ - xyz

1) déterminez le ou les points candidats à l'optimum
2) déterminez la nature de ces points candidats

Moi je trouve seulement (0 , 0 , 0) et du coup la hessienne est vraiment bizarre , merci d'avance pour vos éclaircissements

[Ben314]

Salut,
Si alors le gradient de f est qui est nul ssi x=0 et (y=0 ou z=0) qui sont les "points critiques" de f.
La matrice Hessienne est .
- Si x=y=0 et z quelconque alors qui correspond à la forme quadratique qui, si , n'est ni positive, ni négative donc on a affaire à un "point selle".
- Si x=z=0 et y quelconque alors qui correspond à la forme quadratique qui, si , n'est ni positive, ni négative donc on a affaire à un "point selle".
- Reste le cas où x=y=z=0 et qui correspond à la forme quadratique qui est positive, mais pas définie positive donc le point (0,0,0) est peut-être un minimum local, mais faut une étude suplémentaire pour le vérifier :

Est-il vrai que pour (x,y,z) proche de (0,0,0) ?
pour (x,y,z) proche de (0,0,0) ?
pour (x,y,z) proche de (0,0,0) ?
Si x est nul, l'inégalité est clairement vraie. Si x est non nul, on peut diviser par et on tombe sur :
pour (x,y,z) proche de (0,0,0) ?
Et cette dernière inégalité est clairement fausse si on prend et avec t proche de 0.