Exercice sur la fonction ln

[Miss-Emy]

Bonjour j'ai des exercices à faire pendant les vacances sur les logarithmes mais pour le dernier je bloque complétement, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Sujet :

[B]La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +;)[.

A) 1. Trouver l'équation de la tangente à C sa courbe représentative au point d'abscisse 1.

2. Quelle propriété de la fonction ln permet de dire que pour tout x positif , ln x 0 pour x ]1 ; +;)[

2. d décroissante de 0 à 1 et croissante de 1 à +;) dans le tableau de variation.

[Ericovitchi]

oui jusque là c'est très bien.
Ensuite tu as vu que d(x) était positif donc tu peux en déduire l'inégalité que l'on te demande. Après, sers t-en pour approximer la fonction.

[Miss-Emy]

oui jusque là c'est très bien.
Ensuite tu as vu que d(x) était positif donc tu peux en déduire l'inégalité que l'on te demande. Après, sers t-en pour approximer la fonction.

Bonjour, je suis désolée d'avoir mis autant de temps à répondre mais j'ai eu une coupure internet.

Pourquoi d(x) positif ? Par rapport à l'ensemble de définition ?
Et je ne comprends pas ce terme d'approximer la fonction je suis désolée :/

[Ericovitchi]

Parce que d(x) est décroissante jusqu'à 1 et croissante après mais d(1)=0 donc d(x) est forcement toujours positif.
de d(x)>0 tu déduis -1 + (1/x) + ln x >0 donc ln(x) > 1-1/x

et si tu poses x = 1-h alors ça donne ln(1-h) > 1-1/(1-h) = -h/(1-h)
et si par exemple h=0.01 ça donne ln(0.99) > -0.01/ 0.99 ~ -0.01
et comme tu sais qu'il est négatif, tu peux dire que -0.01 < ln(0.99) < 0
ce qui est plutôt une bonne approximation (compare avec la valeur exacte).

[Miss-Emy]

Parce que d(x) est décroissante jusqu'à 1 et croissante après mais d(1)=0 donc d(x) est forcement toujours positif.
de d(x)>0 tu déduis -1 + (1/x) + ln x >0 donc ln(x) > 1-1/x

et si tu poses x = 1-h alors ça donne ln(1-h) > 1-1/(1-h) = -h/(1-h)
et si par exemple h=0.01 ça donne ln(0.99) > -0.01/ 0.99 ~ -0.01
et comme tu sais qu'il est négatif, tu peux dire que -0.01 < ln(0.99) < 0
ce qui est plutôt une bonne approximation (compare avec la valeur exacte).

D'accord jusqu'ici je comprends pas trop mal et je vous en remercie mais ce que je ne comprends pas c'est que l'on me demande par quelle technique je peux approximer ln 0.99 par -0.01005 et je trouve ce résultat en utilisant la calculatrice je ne vois pas de méthode ?

[Miss-Emy]

Désolée mais je viens de voir je ne vois pas comment on déduit que comme d(x) > 0 alors ln(x) > 1-1/x

[Ericovitchi]

Si d(x) est positif et que d(x) = -1 + (1/x) + ln x alors ça donne
-1 + (1/x) + ln x >0 donc ln x > 1-1/x , non ?

[Miss-Emy]

Si d(x) est positif et que d(x) = -1 + (1/x) + ln x alors ça donne
-1 + (1/x) + ln x >0 donc ln x > 1-1/x , non ?

Oui pardon ^^ j'avais mal lu et pouvez-vous m'aider pour la question A 2 ? Pour la propriété s'il vous plaît ?