Dev en serie entiere de exponentielle

[Nb1]

J'aimerais démontrer que le développement en série entière d'une exponentielle limité aux indices pairs ou impairs tend vers 1/2 exponentielle

Connaissant le développement de Taylor de l'exponentielle e^x=somme de k=1 a ;) de x^k/k!

Peut on montrer que si je me limite au indices pairs: somme de i=1 a ;) de x^2i/(2i)! ou

ou impairs : somme de i=1 a ;) de x^(2i+1)/(2i+1)!

ces sommes tendent vers 1/2 e^x ce qui semble intuitif

[fatal_error]

slt,


et donc

en particulier, si on nomme


On a


Et donc S(x)!=e^x/2, vu que pour x=0, S(0)!=e^0/2

[Nb1]

Merci fatal-error pour cette réponse mais es tu certain au on ne peut pas poser s(0)=1/2 puisque la valeur en 0 n est en fait pas définie. Mon sujet vient d un. PB de proba, le nombre d appels téléphonique X suit un loi de poisson, la proba
Que X=x vaut (e^-r)r^x/x! La proba que x soit pair ou impair devraient être égales et donc egales a 1/2
Pour montrer que somme des p(X=x) pour x pair =1/2 il faudrait montrer que somme des r^x/x! Pour x pair vaut 1/2e^r

[L.A.]

Bonjour.

La sommation sur les indices pairs donne le cosinus hyperbolique, et celle sur les indices impars donne le sinus hyperbolique, et ces deux fonctions ne sont pas réputées être égales (que je sache...).

Elles sont toutes deux "proches" de exp(x)/2 quand x est grand, mais pas égales puisque :
ch(x) = (exp(x)+exp(-x))/2
sh(x) = (exp(x)-exp(-x))/2

[Nb1]

Excellent ! cela parait tellement évident lorsqu'on obtient la solution!

Merci pour votre aide

[Nb1]

La solution de mon problème est :

somme des p(X=x) pour x pair = (e^-r)ch(r) = (1+e^-2r)/2

somme des p(X=x) pour x impair = (e^-r)sh(r) = (1-e^-2r)/2

elle sont bien proche de 1/2 des que r est supérieur a quelques unités

la somme des deux probabilités est bien égale a 1 : (e^-r)[ch(r)+sh(r)]= e^-r. e^+r=1