Développement en séries entière versus DL

[chnafon]

Bonsoir,

Je ne comprends pas bien quelle relation lie le développement limité de f a son développement en série entière. A l'instar du DL, toute fonction f est-elle développable en série entière, sous réserve qu'on soit dans le rayon de convergence associé? Comment passe-t-on de l'un à l'autre? Merci de vos lumières.

[Ben314]

Salut,
Si tu pose la question "théorique", c'est à dire dans le cas le plus général possible, on a :
1) SI une fonction f est développable en série entière au voisinage de avec un rayon de convergence ALORS elle admet au voisinage de des développements limités de tout ordre et on obtient ces D.L. tout simplement en "tronquant" la série.
2) Il existe des fonction de classe (indéfiniement dérivables) sur R, donc admettant des D.L. de tout ordre en tout point de R MAIS non développable en série entière au voisiange de certains . Par exemple la fonction pour et est au voisinage de 0 (pourquoi ?) mais n'est pas développable en série entière au voisinage de 0 (pourquoi ?)