Comment découvrir la forme précise d'une fonction ?

[Malamat]

Bonjour tout le monde,

Je cherche à découvrir la forme d'une fonction reliant x à y, à partir des informations suivantes.

Lorsque x = 0,10, alors y = 1000
De plus, en ce point (x1 ; y1), l'élasticité de y par rapport à x est égale à –0,8.
La méthode (la plus simple) de calcul de l’élasticité :
((y2-y1)/y1)/((x2-x1)/x1)
((y2-y1)/y1)/((x2-x1)/x1) = –0,8
Je suppose que x passe de x1 = 0,10 à x2 = 0,101.
y1 = 1000, à combien s'élève y2 ?
Il vient :
((y2-1000)/1000)/((0,101-0,10)/0,10) = –0,8
On trouve y2 = 992
Lorsque x augmente de 1% (passant de 0,10 à 0,101), y diminue de 0,8% (passant de 1000 à 992).
lorsque x = 0,10, y = 1000
lorsque x = 0,101, y = 992

Cependant, je ne parviens pas à spécifier cette relation sous la forme d'une fonction.
Est-ce possible ?
Je sais que y est une fonction négative de x, c'est-à-dire y = f-(x).
Mais comment être plus précis ?

Merci pour vos lumières. :)

[chombier]

Bonjour tout le monde,

Je cherche à découvrir la forme d'une fonction reliant x à y, à partir des informations suivantes.

Lorsque x = 0,10, alors y = 1000
De plus, en ce point (x1 ; y1), l'élasticité de y par rapport à x est égale à –0,8.
La méthode (la plus simple) de calcul de l’élasticité :
((y2-y1)/y1)/((x2-x1)/x1)
((y2-y1)/y1)/((x2-x1)/x1) = –0,8
Je suppose que x passe de x1 = 0,10 à x2 = 0,101.
y1 = 1000, à combien s'élève y2 ?
Il vient :
((y2-1000)/1000)/((0,101-0,10)/0,10) = –0,8
On trouve y2 = 992
Lorsque x augmente de 1% (passant de 0,10 à 0,101), y diminue de 0,8% (passant de 1000 à 992).
lorsque x = 0,10, y = 1000
lorsque x = 0,101, y = 992

Cependant, je ne parviens pas à spécifier cette relation sous la forme d'une fonction.
Est-ce possible ?
Je sais que y est une fonction négative de x, c'est-à-dire y = f-(x).
Mais comment être plus précis ?

Merci pour vos lumières.

Tu as donc f(x * 1.01) = 992/1000 f(x) et f(0,10) = 1000

supposons que f va soit de la forme f(x) = b * x^a

f(x * 1.01) = b * (x*1.01) ^a = b * x^a * (1.01)^a = f(x) * 1.01^a = 992/1000 * f(x)

d'où 1.01^a = 992/1000
e^(a * ln(1.01)) = 992/1000
a * ln(1.01) = ln(992/1000)
a = ln(992/1000) / ln(1.01)

Ensuite,
f(0.10) = 1000
b * (0.10)^a = 1000
b = 1000 / ((0.10)^a)

Application numérique :
a = ln(992/1000) / ln(1.01) = -0.80722659535
b = 155.873901061

f(x) = 155.873901061 * x^-0.80722659535

Je ne sais pas si c'est la fonction que tu cherches, mais en tout cas elle réponds aux deux critères que j'ai séléctionné !

[Malamat]

Merci beaucoup Chombier.
Donc si je comprend bien il peut y avoir plusieurs fonctions qui vérifient le résultat suivant :
f(0,10) = 1000
f(0,101) = 992
Cela ne me surprend pas (ce serait plutôt le contraire qui serait surprenant).
Je ne pensais pas que le calcul était aussi compliqué, je n'y serais jamais arrivé seul.
Merci. :happy2:

[chombier]

Merci beaucoup Chombier.
Donc si je comprend bien il peut y avoir plusieurs fonctions qui vérifient le résultat suivant :
f(0,10) = 1000
f(0,101) = 992
Cela ne me surprend pas (ce serait plutôt le contraire qui serait surprenant).
Je ne pensais pas que le calcul était aussi compliqué, je n'y serais jamais arrivé seul.
Merci. :happy2:

Oui, une infinité !!! Mais si tu te limites à ces deux contraintes, tu as beaucoup plus simple

une fonction de la forme f(x)=ax+b conviendra parfaitement

f(0,10) = 0,10 a + b = 1000
f(0,101) = 0,101 a + b = 992

0,001 a = -8
a = -8 / 0,001 = -8000

f(0,10) = 0,10 * -8000 + b = 1000
-800 + b = 1000
b = 1800

f(x) = -8000 a + 1800

[mathafou]

Bonjour,

noter que "l'élasticité" de la fonction est définie dans l'énoncé en le seul point x = 0.1
alors choisir un deuxième point pour faire le calcul, certes...
mais "en le seul point x1" cela veut dire la limite de cette expression quand x2 --> x1

en réarrangeant un peu on obtient

élasticité en
ce qui donne




et donc si on se limite à des fonctions linéaires y = ax + b, directement y = -8000(x - 0.1) +1000
simplifié en le résultat donné précédemment

mais si on a d'autres contraintes supplémentaires sur f, écrire que les conditions déja connues sont juste les valeurs de f et f' en 0.1 va simplifier la recherche de f

(nota aussi : "y est une fonction négative de x, c'est-à-dire y = f-(x)." ne veut strictement rien dire du tout)