Exercice Suite TS

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 18:16

Bonsoir !

Comment allez-vous ?

J'ai besoin de votre aide pour deux petites questions !
Enoncé :
La suite (Un) est définie U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/racine(Un²+1)

1)Prouvez que pour tout entier naturel n, Un>0.
2)Prouvez que la suite (Un) est décroissante.
3)Prouvez que cette suite est convergente.
4)Déterminer cette limite. Justifier rigoureusement votre réponse.

1)Fait : j'ai utilisé la récurrence.
2)Fait : signe Un+1-Un
3)Bloqué
4)Bloqué

Mes idées :

Pour la question 3, on sait que la suite Un est décroissante (question 2) et minorée par 0 (question 1 pas sûre). Une suite décroissante et minorée est convergente. Est-ce juste ?

Pour la question 4 : pas d'idée

Voilà merci par avance pour votre aide.

par **Carpate** » 02 Nov 2013, 18:23

MathStar a écrit:Bonsoir !

Comment allez-vous ?

J'ai besoin de votre aide pour deux petites questions !
Enoncé :
La suite (Un) est définie U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un/racine(Un²+1)

1)Prouvez que pour tout entier naturel n, Un>0.
2)Prouvez que la suite (Un) est décroissante.
3)Prouvez que cette suite est convergente.
4)Déterminer cette limite. Justifier rigoureusement votre réponse.

1)Fait : j'ai utilisé la récurrence.
2)Fait : signe Un+1-Un
3)Bloqué
4)Bloqué

Mes idées :

Pour la question 3, on sait que la suite Un est décroissante (question 2) et minorée par 0 (question 1 pas sûre). Une suite décroissante et minorée est convergente. Est-ce juste ?

Pour la question 4 : pas d'idée

Voilà merci par avance pour votre aide.

Oui :une suite décroissante et minorée converge
Donc cette limite existe et vérifie (au passage à la limite) :

donc ...

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 18:25

Carpate a écrit:Que peut-on dire d'une suite décroissante et minorée (par 0) ?

Convergente

Mais comment on sait que elle est minorée par 0, on sait juste que Un>0.

par **busard_des_roseaux** » 02 Nov 2013, 18:26

bonjour,

pour la (3), c'est exact.

avec

la fonction f est continue, quand les termes

sont proches de leur limite

les termes

sont proches de

mais de

également

donc

résoud cette équation et déduis-en la valeur de

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 19:32

busard_des_roseaux a écrit:bonour,

pour la (3), c'est exact.

avec

la fonction f est continue, quand les termes sont proches de leur limite
les termes sont proches de mais de également

donc

résoud cette équation et déduis-en la valeur de

D'après ce que j'ai compris :

On pose L la la limite de cette suite.
limUn=l
Un+1=Un/sqrt(Un²+1)
Lim Un+1 = L

limUn=L

Lim(Un/sqrtUn²+1)=L/sqrt(L²+1)

donc L= L/sqrt(L²+2)

Après je n'arrive pas à résoudre l'équation : est-ce qui'il faut se dire que sqrt(L²+2)>0 et donc L=L
et a= 1 et b,c=0 donc discriminant = 0²-4*1*0 = 0 et donc solution : 0/2*1 = 0
Conclusion : limUn=0 est-ce juste ?

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 19:52

Is there someone ?

par **Sa Majesté** » 02 Nov 2013, 20:23

Tu factorises
L = L/sqrt(L²+1)
L/sqrt(L²+1) - L = 0
L/sqrt(L²+1) (1-sqrt(L²+1))=0

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 21:22

Sa Majesté a écrit:Tu factorises
L = L/sqrt(L²+1)
L/sqrt(L²+1) - L = 0
L/sqrt(L²+1) (1-sqrt(L²+1))=0

Merci pour votre réponse !

Donc l'un des des facteurs est nul.

Juste je n'arrive pas à faire disparaître les racines carrées j'ai tout essayé :triste:

L/sqrt(L²+1) = 0 et (1-sqrt(L²+1) = 0 juste une petite idée pour les racines svp

par **Sa Majesté** » 02 Nov 2013, 21:35

L/sqrt(L²+1) = 0 => L=0
1-sqrt(L²+1) = 0 => sqrt(L²+1)=1 =>L²+1=1 => L=0

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 21:39

Sa Majesté a écrit:L/sqrt(L²+1) = 0 => L=0
1-sqrt(L²+1) = 0 => sqrt(L²+1)=1 =>L²+1=1 => L=0

Merci je comprends mieux mais des ??? :

Pour la première : vous faites comment avec les racines carrées ?
Pour la deuxième : vous avez mis au carré pour annuler la racine ?

J'ai envie de comprendre sinon je ne peux pas dormir :cry:

Les réponses sont logiques mais juste je voudrai savoir comment faire disparaître la racine carrée dans la première.

par **Sa Majesté** » 02 Nov 2013, 21:43

a/b=0 implique a=0 en multipliant par b

sqrt(a)=sqrt(b) implique a=b en élevant au carré

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 21:57

Sa Majesté a écrit:a/b=0 implique a=0 en multipliant par b

sqrt(a)=sqrt(b) implique a=b en élevant au carré

Compris pour la deuxième et ce que vous dites c'est logique et simple à comprendre mais pour la racine je ne comprends pas : en fait j'explique clairement :

L/sqrt(L²+1)=0

De manière logique on devine que L = 0 car a/b=0 a doit être égale à 0. (un produit en croix est possible aussi ici L=(0*sqrt(L²+1))/1= 0 logique )

Jusque là ok : la réponse j'ai compris .

Après je voudrai juste savoir par curiosité :

L/sqrt(L²+1) = 0 avoir cette équation sans racine , pouvez-vous me détaillez ce calcul svp please

par **MathStar** » 02 Nov 2013, 22:19

C'est impossible ce que je demande je pense oubliez le ! :hein:

Merci beaucoup pour vos aides précieuses, il me reste plus qu'à recopier au propre .......A bientôt

Exercice Suite TS

Exercice Suite TS

Qui est en ligne