Exercice

[MademoiselleMathilde]

Bonsoir, j'aurai

[chan79]

Bonsoir,
J'ai cette algorithme à faire:

Entrée
Saisir n (n appartient à N , n supérieur ou égal à 1)
Initialisation
S prend la valeur 0
Traitement
pour k de 1 jusqu'à n
pour j de 1 jusqu'à k²
l S prend la valeur S + 1
FinPour
FinPour
Sortie
Afficher S

Je l'ai donc rentré sur ma calculatrice et il fonctionne.

Les questions de l'exercice sont:
-faire pour n=2 et pour n=3
- faire pour le cas général

Donc pour n=2 ça me donne 5 et pour n=3 ça me donne 14 mais je ne comprend pas comment trouver le cas général..

Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Par avance merci

pour k=1, on compte 1 à 1 donc 1
pour k=2, on compte de 1 à 2² donc 4
pour k=3, on compte de 1 à 3² donc 9
on ajoute

S=1+4+9+...

[MademoiselleMathilde]

Oui je m'en suis rendue compte. J'ai vu que pour:
1 --> 1²
2 --> 2² + 1²
3 --> 3² + 2² + 1²
[...]
Mais je pense que ma prof attend une formule non..? Fin je ne vois pas comment rédiger son "cas général"..

[busard_des_roseaux]

bonjour,


voilà une belle égalité



sa véracité (Vraie ou fausse), tu imagines bien , que ça dépend de n.

en ajoutant des deux côtés de l'égalité, démontre que la formule reste vraie quand on ajoute un carré de plus,
à savoir

[MademoiselleMathilde]

bonjour,


voilà une belle égalité



sa véracité (Vraie ou fausse), tu imagines bien , que ça dépend de n.

en ajoutant des deux côtés de l'égalité, démontre que la formule reste vraie quand on ajoute un carré de plus,
à savoir

Bonjour,
Merci pour votre réponse,
Je n'arrive pas à comprendre comment vous arrivez à tomber sur cette formule..

[busard_des_roseaux]

Bonjour,
Merci pour votre réponse,
Je n'arrive pas à comprendre comment vous arrivez à tomber sur cette formule..

C'est une idée d'un mathématicien suisse nommé Bernoulli.

il a cherché un polynome P de degré 3 tel que



par coefficients indéterminés .


Une fois que l'on a le polynôme, on remplace x par 1,2,3,..n et on somme



la somme à gauche est télescopique et on trouve



une fois que tu détermine le polynome P, tu as la formule

[MademoiselleMathilde]

C'est une idée d'un mathématicien suisse nommé Bernoulli.

il a cherché un polynome P de degré 3 tel que



par coefficients indéterminés .


Une fois que l'on a le polynôme, on remplace x par 1,2,3,..n et on somme



la somme à gauche est télescopique et on trouve



une fois que tu détermine le polynome P, tu as la formule

Merci beaucoup pour ton aide.
Je n'avais encore jamais vu ça en cour et je commence à comprendre
Mais avec quels valeurs détermines tu le polynome P?

[busard_des_roseaux]

a,b,c inconnus

on doit vérifier


(pour développer )

[MademoiselleMathilde]

Je n'arrive pas à comprendre le rapport avec la formule de départ que tu m'as donné: (n(n+1)(2n+1)) / 6

[busard_des_roseaux]

Je n'arrive pas à comprendre le rapport avec la formule de départ que tu m'as donné: (n(n+1)(2n+1)) / 6

c'est P(n+1)-P(1). tu as remarqué que c'est de degré 3 en ?

[busard_des_roseaux]

pour trouver le polynôme P

il y a trois inconnues, ça fait un système 3x3 à résoudre
mis en égalisant les polynomes dérivés :we: , tu résouds de proche en proche avec un système triangulaire

[MademoiselleMathilde]

Ah oui d'accord!
En relisant le début de notre conversation j'ai compris ton raisonnement!
En faite il faut juste que je démontre que Sn = n(n+1)(2n+1) / 6
Et pour ça, je démontre que Sn+1 = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) / 6
J'ai tout fait au brouillon c'est bon j'ai compris,
Merci beaucoup pour ton aide

[MademoiselleMathilde]

trouver le polynôme P est de niveau bac+1

il y a trois inconnues, ça fait un système 3x3 à résoudre
mis en égalisant les polynomes dérivés :we: , tu résouds de proche en proche avec un système triangulaire

Je ne suis qu'en 1ere..

[busard_des_roseaux]

Ah oui d'accord!
En relisant le début de notre conversation j'ai compris ton raisonnement!
En faite il faut juste que je démontre que Sn = n(n+1)(2n+1) / 6
Et pour ça, je démontre que Sn+1 = (n+1)(n+2)(2(n+1)+1) / 6
J'ai tout fait au brouillon c'est bon j'ai compris,
Merci beaucoup pour ton aide

:we:

voilà comment ça s'est passé au 18ème siècle: Bernoulli a eu l'idée de chercher un polynome.

Après on a eu la formule.

Ce qui était difficile, c'était de trouver la formule. Maintenant, on la démontre
de "proche" en "proche". Si l'égalité est vraie pour
la même égalité, avec la même structure, est vraie au rang n+1.