Determinant

[pizzouille]

Bonjour,

Voici le sujet :

Soit X : R -> Mn(R) dérivable et f(t) = det X(t) et f est dérivable sur R.

On veux montrer que si X1(s),....,Xn(s) sont les vecteurs colonnes de la matrice X(t), alors pour tout s appartenant à R, on :

f'(s) = det ( X'1(s),...,Xn(s) ) + ... + det ( X1(s),...,X'n(s) )

j'ai fais ceci en utlisant la dérivée d'un produit :

f(s) = det ( X1(s),...,Xn(s) )
f'(s) = det ( X'1(s),...,Xn(s) ) + ... + det ( X1(s),...,X'n(s) )

( mais le problème c'est que je n'ai rien demontré)

puis on veux déduire que si t appartient à R verifie X(t) = Id alors f'(t) = f(t) fois trace(X'(t))

mais si on pose f(t) = det X(t) = det Id , je ne vois pas comment obtenir le résultat souhaité.

Merci à l'avance de votre aide

[arnaud32]

det ( X1+h1,...,Xn+hn ) = ... (en utilisant les proprietes du det)
puis tu utilises les lois de composition des differentielles

[pizzouille]

Y a aurait-il pas une autre façon de faire sans les differentielle?

[Maxmau]

Y a aurait-il pas une autre façon de faire sans les differentielle?

bj
tu peux utiliser l'expression développée d'un déterminant

[pizzouille]

J'ai trouvé pour montrer f'(s) = det ( X'1(s),...,Xn(s) ) + ... + det ( X1(s),...,X'n(s) )

Est ce quelqu'un aurait un idée pour montrer X(t) = Id alors f'(t) = f(t) fois trace(X'(t))