Fonction classe C1

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 18:21

Bonjour,
Voila j'ai une série d'affirmation auxquelles je dois dire si elles sont vraie ou fausses en les démontrant; je voulais juste confirmer mon raisonnement pour l'une d'entre elle:
Une fonction continue et dérivable sur R est de classe C1 sur R
Pour moi elle est fausse d'après la définition une fonction est de classe C1 sur R si f est continue sur R et dérivable et ainsi sa dérivée doit etre continue aussi sur R
Merci d'avance

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 18:27

Salut,
Oui, mais quand on dit non à une affirmation, la raison pour laquelle on dit non ne peut pas être "sans quoi on l'aurait défini autrement", c'est loin d'être rigoureux. Il faut que tu exhibes un contre-exemple.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 18:35

J'y ai penser donc le but serait de trouver une fonction continue sur R dont la dérivé serait une fonction inverse ou logarithmique qui ne serait pas définit sur R, mais je n'en trouve pas..

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 19:43

Le plus simple c'est de définir ta fonction par morceaux.
Sur ]-oo,0] : -x^2
Sur [0,+oo[ : x^2

À toi de vérifier que ça marche.

par **blabla189** » 12 Oct 2013, 19:48

il se trouve qu'elle est C1 celle la , (par contre la valeur absolue fonctionne tres bien) erreur elle ne fonctionne pas non plus car elle n'est pas dérivable en 0

par contre f(x)=x^2*sin(1/x) fonctionne

ah pris de vitesse par en dessous

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 19:52

Non. Elle n'est pas dérivable en tout point (pas en 0).
Mais oui, je me suis planté.

Il vaut mieux prendre

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:03

Mais celle la non plus n'est pas continue en 0

adrien69 a écrit:Non. Elle n'est pas dérivable en tout point (pas en 0).
Mais oui, je me suis planté.

Il vaut mieux prendre

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 20:04

Si. Promis. Prends l'équivalent en 0

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:09

D'accord et donc la dérivée est 2xsin(1/x)+x^2cos(1/x)(-1/x^2) ? et son domaine de dérivabilité est R* c'est cela ?

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 20:14

Ça c'est la dérivée pour tout point hormis 0. En 0 il faut revenir à la définition.

(f(x)-f(0))/(x-0)=xsin(1/x)->0

Mais f'(x) fait clairement n'importe quoi autour de 0.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:16

Mais donc d'après toi elle serait vrai ?
vu que cette fonction est dérivable et sa dérivée est continu

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 20:19

Ben non c'est pas vrai. Relis-moi.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:26

Je ne vois pas.. x^2sin(1/x) est une fonction continue et dérivable et sa dérivée est continue.. pourquoi elle serait fausse ?

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 20:28

Mais sa dérivée n'est pas continue en 0 ! Elle est dérivable en 0 mais pas continue en 0.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:30

la limite de xsin(1/x) quand x->0 c'est bien 0 ?

adrien69 a écrit:Mais sa dérivée n'est pas continue en 0 ! Elle est dérivable en 0 mais pas continue en 0.

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 20:32

Et alors ? Quand x est différent de 0, f'(x)=2xsin(1/x)+x^2cos(1/x)(-1/x^2) et ça ça n'a pas de limite.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 20:59

si x^2sin(1/x) a une limite je ne vois pas pourquoi f(x) n'en aurait pas c'est à cause de cos(1/x) qu'il n'y a pas de limite ?

adrien69 a écrit:Et alors ? Quand x est différent de 0, f'(x)=2xsin(1/x)+x^2cos(1/x)(-1/x^2) et ça ça n'a pas de limite.

par **adrien69** » 12 Oct 2013, 21:00

mathos92 a écrit:si x^2sin(1/x) a une limite je ne vois pas pourquoi f(x) n'en aurait pas c'est à cause de cos(1/x) qu'il n'y a pas de limite ?

Ben oui, clairement.

par **mathos92** » 12 Oct 2013, 21:05

Okayyyyy merci beaucoup !
Je vais oser te demander un autre truc sur une autre affirmation..
Toute fonction continue et périodique sur R admet au moins un extremum global sur R
D'après moi elle est vrai mais je ne sais pas comment faire pour la démontrer :/

Fonction classe C1

Fonction classe C1

Qui est en ligne