Justification d'un polynome

[lumfast]

soit S=sin( ;)/5). justifier que 16 S^4 - 20 S^2 +5=0

[Maxmau]

soit S=sin( /5). justifier que 16 S^4 - 20 S^2 +5=0

Bj
Considère la projection sur l'axe des cosinus de la somme des racines 5éme de l'unité. puis un peu de trigo.

[jlb]

Tu pars de
1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0, égalité obtenue à partir de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0 ( somme des termes d'une suite géométrique de raison e^i2pi/5)

tu obtiens alors que cos(2pi/5) est solution de 4x²+2x - 1=0 donc cos(pi/5) est solution de 4(2y²-1)² + 2(2y²-1) - 1 = 0 et enfin que sin(pi/5) est solution de 4(2(1-X²)-1)²+2(2(1-X²)-1) -1 = 0.

Tu développes tout cela, cela donne que sin(pi/5) est solution de 4(-2X²+1)² +4-4X²-2-1=0

soit de 4(4X^4-4X²+1) - 4X² +1=0 soit 16X^4 - 16X² +4 - 4x² +1 = 0 c'est-à-dire, ce que tu veux.

après si tu sais que sin(pi/5)= rac((5-rac(5))/8), tu remplaces et tu calcules!!

[lumfast]

Sur : 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0, égalité obtenue à partir de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0 ( somme des termes d'une suite géométrique de raison e^i2pi/5)

je comprend pas trop comment passer de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0
à 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0

[Maxmau]

Sur : 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0, égalité obtenue à partir de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0 ( somme des termes d'une suite géométrique de raison e^i2pi/5)

je comprend pas trop comment passer de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0
à 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0

prends la partie réelle

[jlb]

Sur : 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0, égalité obtenue à partir de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0 ( somme des termes d'une suite géométrique de raison e^i2pi/5)

je comprend pas trop comment passer de 1 + e^i2pi/5+e^i4pi/5 + e^i6pi/5+e^i8pi/5 = 0
à 1 + 2cos(2pi/5) + 2cos(4pi/5) =0

le truc à remarquer c'est que e^i8pi/5=e^i8pi/5.e^-2ipi=e^-2ipi/5 d'où le calcul facile de e^i2pi/5 +e^i8pi/5 = e^i2pi/5 + e^-2ipi/5 = 2 cos(2pi/5)

essaie par toi même pour regrouper ce qui reste!