Puissance

par **lhw** » 21 Sep 2013, 14:26

Bonjour,
dans un dm, je dois calculer le chiffre des unités et l'ordre de grandeur de 2^2013
je ne comprend pas comment faire, j'ai deja demandé de l 'aide a mon prof, mais ses explications ne m'aident pas, pouvez vous m'expliquer?

par **messinmaisoui** » 21 Sep 2013, 15:10

Calculer 2^1, 2^2, 2^3, ... 2^14 pour commencer

Que vaut 2^1, 2^5, 2^9, 2^13 ?
Par quoi ces nombres finissent-ils ?
Qu'est ce qui relie ces puissances ?

Que vaut 2^2, 2^6, 2^10,2^14 ?
Par quoi ces nombres finissent-ils ?
Qu'est ce qui relie ces puissances ?

Comment donc trouver 2^2013 à partir de ces constatations ?

par **lhw** » 21 Sep 2013, 16:29

2^1, 2^5, 2^9, 2^13 finissent par 2
2^2, 2^6, 2^10, 2^14 finissent par 4

j'ai remarqué que le dernier chiffre de 2^n est "periodique" 2, 4, 8, 6, 2, 4...

mais je ne vois pas comment cela me permet de trouver le dernier chiffre des unités et l'ordre de grandeur de 2^2013 :triste:

par **messinmaisoui** » 21 Sep 2013, 16:42

lhw a écrit:2^1, 2^5, 2^9, 2^13 finissent par 2
2^2, 2^6, 2^10, 2^14 finissent par 4

j'ai remarqué que le dernier chiffre de 2^n est "periodique" 2, 4, 8, 6, 2, 4...

mais je ne vois pas comment cela me permet de trouver le dernier chiffre des unités et l'ordre de grandeur de 2^2013 :triste:

2^1, 2^5, 2^9, 2^13 finissent par 2
le 1er terme est 2^1
le 2eme terme est 2^(1 *4 +1)
le 3eme terme est 2^(2 *4 +1)
le 4eme terme est 2^(3 *4 +1)
...
2^2, 2^6, 2^10, 2^14 finissent par 4
le 1er terme est 2^2
le 2eme terme est 2^(1 *4 +2)
le 3eme terme est 2^(2 *4 +2)
le 4eme terme est 2^(3 *4 +2)
...
2^3, 2^7, 2^11, 2^15 finissent par 8
le 1er terme est 2^3
le 2eme terme est 2^(1 *4 +3)
etc ..

Est-ce que je peux trouver n tel que ... * 4[EDIT] + 1 = 2013
ou
Est-ce que je peux trouver n tel que ... * 4[EDIT] + 2 = 2013
ou
Est-ce que je peux trouver n tel que ... * 4[EDIT] + 3 = 2013
ou
...

là je suis au max de mes explications :doh:

par **lhw** » 21 Sep 2013, 17:06

503*4+1=2013
671*3+0=2013
670*3+3=2013
669*3+6=2013
668*3+9=2013
667*3+12=2013
666*3+15=2013
...
mais je ne vois pas quoi faire! :hein:

par **messinmaisoui** » 21 Sep 2013, 17:20

Je me suis trompé dans mes formules voir [Edit]

bon prenons les nombres finissent par 4
le 1er terme est 2^2
le 2eme terme est 2^(1 *4 +2)
le 3eme terme est 2^(2 *4 +2)
le 4eme terme est 2^(3 *4 +2)
...
est ce que je peux trouver un n ème terme
tel que n * 4 +2 = 2013
Non car n dans ce cas serait égal à (2013 -2) /4 = 2011/4
et n ne serait pas entier
donc 2^2013 ne finit pas par 4

Finit il par 2 alors ...
à toi de jouer ?

par **chan79** » 21 Sep 2013, 17:23

lhw a écrit:503*4+1=2013
671*3+0=2013
670*3+3=2013
669*3+6=2013
668*3+9=2013
667*3+12=2013
666*3+15=2013
...
mais je ne vois pas quoi faire! :hein:

Pour quelles valeurs de n le nombre

se termine-t-il par 6 au début de la liste ?

par **lhw** » 21 Sep 2013, 18:06

(2013-1)/2 = 1006 ?

le nombre des unités de 2^2013 serait 2?

par **messinmaisoui** » 21 Sep 2013, 18:14

lhw a écrit:(2013-1)/2 = 1006 ?

le nombre des unités de 2^2013 serait 2?

Hum une bonne nuit là-dessus et aussi regarder la proposition de Chan79

2^1, 2^5, 2^9, 2^13 finissent par 2
le 1er terme est 2^1
le 2eme terme est 2^(1 *4 +1)
le 3eme terme est 2^(2 *4 +1)
le 4eme terme est 2^(3 *4 +1)
...
le n ème terme serait n * 4 + 1
Puis je trouver n tel que n * 4 +1 = 2013 ?

par **lhw** » 21 Sep 2013, 18:19

idée d'un ami : le dernier nombre (2, 4, 8, 6) revient toutes les quatres valeurs

il attribue : 1 pour 2
2 pour 4
3 pour 8
et 0 pour 6

puis il effectue une division euclidienne : l'exposant (dans ce cas 2013) / le nombre de dernière valeurs possible (2, 4, 8, 6), dans ce cas 4
si le reste est 1, le dernier chiffre est 2
2, le dernier chiffre est 4
3, le dernier chiffre est 8
0, le dernier chiffre est 6

ex : 2^11 = 2048

11/4(division euclidienne) = 2, reste 3
pour reste 3, le dernier chiffre est 8 -> 2048

qu en pensez vous?

par **lhw** » 21 Sep 2013, 18:32

n*4 +1 = 2013 pour n = 503

en suivant la méthode de mon ami que j 'ai énoncé précédemment, 2013/4(division euclidienne) = 503, reste 1
pour reste 1, 2 est le dernier chiffre, donc
le dernier chiffre de 2^2013 serait 2

par **messinmaisoui** » 22 Sep 2013, 07:07

lhw a écrit:n*4 +1 = 2013 pour n = 503

en suivant la méthode de mon ami que j 'ai énoncé précédemment, 2013/4(division euclidienne) = 503, reste 1
pour reste 1, 2 est le dernier chiffre, donc
le dernier chiffre de 2^2013 serait 2

On est d'accord !

par **lhw** » 22 Sep 2013, 11:23

la méthode de mon ami est-elle bonne?(dans le rédaction et la justification)
et il me reste encore l'ordre de grandeur a déterminé... :mur:

par **messinmaisoui** » 22 Sep 2013, 11:32

lhw a écrit:la méthode de mon ami est-elle bonne?(dans le rédaction et la justification)
et il me reste encore l'ordre de grandeur a déterminé... :mur:

oui ça me parait bien.

par **chan79** » 22 Sep 2013, 11:40

lhw a écrit:la méthode de mon ami est-elle bonne?(dans le rédaction et la justification)
et il me reste encore l'ordre de grandeur a déterminé... :mur:

salut
une autre approche

comme

finit par 6 et comme 6*6=36,

finit par 6 si n est un multiple de 4

comme 2012 est multiple de 4,

finit par 6

comme 6*2=12,

finit par 2
Pour la suite, tu peux utiliser le fait que

est proche de

par **lhw** » 22 Sep 2013, 13:26

Pour la suite, tu peux utiliser le fait que

est proche de

[/quote]

Je ne vois pas comment faire avec ces infos! :triste:

par **lhw** » 22 Sep 2013, 14:07

j ai trouvé : 2^10 ;) 10^3 donc 2^2013 ;) 2^2013*10^3/2^10 ;) 9.18*10^605

qu en pensez vous?

par **chan79** » 22 Sep 2013, 14:13

lhw a écrit:j ai trouvé : 2^10 10^3 donc 2^2013 2^2013*10^3/2^10 9.18*10^605

qu en pensez vous?

soit environ

à noter que la calculatrice de windows donne un résultat

par **lhw** » 22 Sep 2013, 14:30

j 'ai vérifié avec des amis, c'est juste :)

merci beaucoup pour votre aide, je n'aurai pas réussi sinon :)

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