Fonctions trigonométriques et dérivations

[Gowshan]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour demain, sauf que je n'y arrive pas.

Sujet : ABCD est un trapèze de grande base [AB] tel que :
AD=DC=CB=a
Déterminer le trapèze ayant ces caractéristiques dont l'aire est maximale.

Aidez-moi svp !! Je ne sais pas par où il faut commencer.
Merci !

[Monsieur23]

Aloha,

Déjà, est-ce que tu peut exprimer l'aire du trapèze ?

[Gowshan]

Aloha,

Déjà, est-ce que tu peut exprimer l'aire du trapèze ?

oui A= (B+b)/2 * h

[Monsieur23]

Ok. Dans ton cas, si on appelle x la longueur de la grande base, que valent b, B et h ?

[Manny06]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour demain, sauf que je n'y arrive pas.

Sujet : ABCD est un trapèze de grande base [AB] tel que :
AD=DC=CB=a
Déterminer le trapèze ayant ces caractéristiques dont l'aire est maximale.

Aidez-moi svp !! Je ne sais pas par où il faut commencer.
Merci !

pose AB=x
exprime l'aire en fonction de a,x et la hauteur h=DH
ensuite exprime h en fonction de a et x
puis étudie la fonction

[Gowshan]

Ok. Dans ton cas, si on appelle x la longueur de la grande base, que valent b, B et h ?

je ne vois pas comment il faut faire

[Monsieur23]

As-tu fais un dessin ?
Sinon, dessines ton trapèze, et dessine une hauteur.
Quelle est la longueur de la petite base (facile) ?
Quelle est la longueur de la grande base (facile aussi) ?
Quelle est la longueur de la hauteur (plus dur, tu peux appliquer par exemple le théorème de Pythagore pour la trouver) ?

[Gowshan]

pose AB=x
exprime l'aire en fonction de a,x et la hauteur h=DH
ensuite exprime h en fonction de a et x
puis étudie la fonction

AB=x
A=(x+a)/2*h
h=(x+a)/2

c'est bien ça ?

[Gowshan]

As-tu fais un dessin ?
Sinon, dessines ton trapèze, et dessine une hauteur.
Quelle est la longueur de la petite base (facile) ?
Quelle est la longueur de la grande base (facile aussi) ?
Quelle est la longueur de la hauteur (plus dur, tu peux appliquer par exemple le théorème de Pythagore pour la trouver) ?

oui j'ai fais un dessin
petite base = a
grande base = x
h = je ne vois pas comment je peux faire je n'arrive pas à trouver la valeur entre le A et la hauteur

[Monsieur23]

Si tu traces la hauteur, ça te dessine un triangle rectangle, dont l'hypothénuse est un des côtés du trapèze.
Tu peux appliquer Pythagore dans ce triangle pour obtenir h.

[Gowshan]

Si tu traces la hauteur, ça te dessine un triangle rectangle, dont l'hypothénuse est un des côtés du trapèze.
Tu peux appliquer Pythagore dans ce triangle pour obtenir h.

ça me fait a^2=h^2 + (x- ...)^2

[Monsieur23]

Ouais! La question, c'est combien fait le x-… ?

Pour ça, tu peux découper ta grande base en 3 parties : une du petit bout que tu veux, une de longueur a, et une de même longueur que le petit bout.
Si on appelle b la longueur que tu cherches, tu auras donc b+a+b=x.

[Gowshan]

donc sa me fait :
h = x-(a+b)
D'après le théorème de pythagore, on a
a^2= h^2 + (x-a-b)^2
h^2= a^2 - (x-a-b)^2
h^2= (a-x+a+b)(a+x-a-b)
h^2= (2a-x+b)(x-b)

c'est bien ça ?

[Monsieur23]

D'après le théorème de pythagore, on a
a^2= h^2 + (x-a-b)^2
h^2= a^2 - (x-a-b)^2
h^2= (a-x+a+b)(a+x-a-b)
h^2= (2a-x+b)(x-b)

c'est bien ça ?

C'est ok, mais que vaut b sachant que b+a+b=x ?

[Gowshan]

b= (x-a)/2

[Gowshan]

je trouve h^2= ((3a-x)/2)((a+x)/2).
Qu'est ce que je dois faire après cela pour répondre à la question ?

Merci

[Monsieur23]

Tu as donc h = racine de tout ça.

Ensuite, tu n'as plus qu'à remplacer dans ta formule de l'aire du trapèze, et tu devrais avoir une expression qui ne dépend plus que de a et x.
Tu étudies cette fonction de x (dérivée, tableau de variations,…), et hop tu auras ta réponse.

[Gowshan]

Tu as donc h = racine de tout ça.

Ensuite, tu n'as plus qu'à remplacer dans ta formule de l'aire du trapèze, et tu devrais avoir une expression qui ne dépend plus que de a et x.
Tu étudies cette fonction de x (dérivée, tableau de variations,…), et hop tu auras ta réponse.

Merci bcp de votre aide.