Exercices Fonctions Numériques: Limites - Dérivations

[xiaoyu]

[color=black]Bonjour à tous, voilà j'ai quelques excercices à faire pour la semaine prochaine, je n'en ai réussi que 2 (et je ne suis pas sur qu'il son bon!) c'est pourquoi j'aimerais avoir votre avis et peut-être des méthodes à avoir si les miennes ne sont pas bonnes!
Merci d'avance.
[/color]



Exercice 1:

Démontrer que Lim: x3 + 3x² 2x / x² - x - 6 = - 2/5
x => - 2



Exercice 2:

Déterminer Lim (1 / 1 - x) - (3/1 - x²)
x => 1




Exercice 3:

Déterminer f' (2) avec f(x) = 1/x




Exercice 4:

Déterminer f' (0) avec f(x) = x-1 /x+2




Exercice 5:

Calculer Lim (x+1) (x² - 3x +1) / x4 - 2x
x => + inf


Exercice fait:

Exercice 3:
Déterminer f' (2) avec f(x) = 1/x

Lim (2 x 1 + h) - 2 / (2 x 2 + h)

Lim 2 h - 2 / 4h = h/4h = 4


Exercice 4:
Déterminer f' (0) avec f(x) = x-1 /x+2

Lim (2 x 0 + h) - 1 ( - 2 x 0 - 1) / (2 x 0 + h) + 2 - (2 x 0 - 2)

Lim h - 1 / h = - 1


Donc voilà.. je ne sais pas si ma méthode, mes réponses sont bonnes et je n'arrives pas à faire les autres! :marteau: :mur: :hein:

Je vous remercie par avance. Bonne soirée.

[seriousme]

Ceci permet de lever l'indétermination et de conclure.

La démarche est similaire pour les autres : il faut factoriser les polynômes.

[xiaoyu]

euh.. je ne comprend pas très bien, tout les petit excercice revienne aux même ? Il faut appliquer cette formule à toutes ces opérations ? :doh:

[keti]

Pour l'exercice 5
Il y a une régle opératoire qui dit " La limite d'une fonction rationnelle en +inf et en -inf est celle du quoitient de ses termes de plus haut degres "

C'est une technique permettant d'aller plus rapidement

[seriousme]

La démarche exposée au dessus est valide pour les exercices où il faut trouver la limite en un point où la fonction n'est pas à priori définie.

Pour le 2 :


Donc en 2 :

[Florélianne]

Exercice 1:
Démontrer que Lim: (x3 + 3x² 2x ) / ( x² - x - 6 ) = - 2/5
x => - 2

lim (x--> -2) (x^3 + 3x² + 2x)/(x² -x - 6) = ?
x^3 + 3x² + 2x = x(x²+3x+2)
tu as pu constaté que pour -2 le numérateur s'annulait
donc -2 est une racine évidente de x²+3x+2
donc x²+3x+2= (x+2)(...)
comme il faut trouver x² le facteur inconnu est de la forme (x...)
de même comme on doit trouver 2 le facteur inconnu ne peut être que (x+1)
vérification : (x+2)(x+1) = x² + x+ 2x+ 2 = x² + 3x + 2
donc x^3 + 3x² + 2x = x(x+2)(x+1)
x² -x - 6 = (x+2)(x-3) ?
vérification : (x+2)(x-3) = x² -3x+2x-6 = x² -x-6 vrai
donc on doit donc chercher :
lim (x-->-2) (x^3 + 3x² + 2x)/(x²-x-6) =
lim (x-->-2) x(x+2)(x+1)/(x+2)(x-3) =
lim (x-->-2) x(x+1)/(x-3) = -2(-1)/-5 = 2/5

Exercice 2:

Déterminer Lim 1 / (1 - x) - 3/(1 - x²)
x => 1
lim (x-->1) 1/(1-x) -3/(1-x²)1/(1-x) -3/(1-x²) = [1(1+x)-3]/(1-x)(1+x) =
= (1+x-3)/(1-x)(1+x) = (x-2)/(x-1)(x+1) =
= (x-1-1)/(x-1)(x+1) = (x-1)/(x-1)(x+1) - 1/(x-1)(x+1)
= 1/(x+1) -1/(x²-1)

lim (x-->1) 1/(1-x) -3/(1-x²) = lim (x-->1) [1/(x+1) -1/(x²-)] =
=lim(x-->1) 1/(x+1) + lim (x-->1) -1/(x²-1) =
= 1/2 + lim (x-->1) -1/(x²-1) = oo
si x 1 la réponse est - oo


Exercice 3:

Déterminer f' (2) avec f(x) = 1/x
tu ne connais pas encore les formules des dérivées courantes ?
lim (x-->2) (1/x - 1/2)/(x-2) = lim (x-->2)[(2-x)/2x]/(x-2) =
lim (x-->2) (2-x)/2x(x-2) = lim (x-->2) -1/2x = -1/4



Exercice 4:

Déterminer f' (0) avec f(x) = (x-1) /(x+2)
lim (x-->0) [(x-1)/(x+2)+1/2]/x =
= lim (x-->2){[2(x-1)+(x+2)]2(x+2)}/x=
= lim (x-->2) (2x-2+x+2)/2x(x+2) =
= lim (x-->2) 3x/2x(x+2) = lim (x-->2) 3/2(x+2) =3/8



Exercice 5:

Calculer Lim (x+1) (x² - 3x +1) / (x4 - 2x)
x => + inf

Pardon, il est tard, je finirais demain... je suis trop lasse...




Exercice fait:

Exercice 3:
Déterminer f' (2) avec f(x) = 1/x

Lim (2 x 1 + h) - 2 / (2 x 2 + h)[color=Magenta]quand on ne connait pas l'écriture des expressions et les priorités de calcul, il normal d'avoir des résultats faux ![/color][color=Magenta]
Revoir d'urgence les priorités de calcul pour savoir où placer les parenthèses, entre autres choses...

Lim 2 h - 2 / 4h = h/4h = 4


Exercice 4:
Déterminer f' (0) avec f(x) = x-1 /x+2

Lim (2 x 0 + h) - 1 ( - 2 x 0 - 1) / (2 x 0 + h) + 2 - (2 x 0 - 2)

Lim h - 1 / h = - 1
[/color]très cordialement

[oscar]

bonjour



Lim f(x) = (x-1)/(x+2)

x..................-2...........
x+2-----------0+++++++

Si x-->- 2, x>-2 f-> (-3)/+ --> -oo
Six-->- 2, x<-2 f--> +oo

5) Le degré du numer.> degré du dénom=> f- --> 0

[xiaoyu]

Waaaah merci beaucoup Florélianne, oscar, seriousme et keti.

Je vais bien étudier cela ce weekend!
En vous remerciant encore.. Très bonne fêtes de fin d'années!

:salut: