Fonctions limites et dérivations

[manudu33]

: 24.12.08 Bonjour a tous voici un exercice sur les fonctions limites et dérivation j'ai essayer de tout faire mais je suis pas sur de se que j'ai fait par contre il y deux questions ou je n'ai rien réussit à faire. Merci de me dire se qui ne vas pas.


ENONCE:
PARTIE A:
Soit la fonction g définie sur ]0;+;)[ par g(x) = 2x²+1-lnx
1) Déterminé g', étudier le signe de g'(x) et dresser le tableau de variation de g (on ne demande pas les limites en +;) et 0)
2) En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0;+;)[.

PARTIE B:
Soit la fonction f définie sur ]0;+;)[ par f(x)= 2x+(lnx/x). On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans le repère orthogonal de 2cm.
1) a) Déterminer lim f(x). Que peut-on en déduire de la courbe C?
x;)0
b) Déterminer lim f(x)?
x;)+;)

2) a) Montrer que la courbe C admet la droite d'équation y=2x comme asymptote.
b) Etudier la position relative de C et D pour tout nombre réel de x de ]0;+;)[.

3) a) Montrer tout nombre réel de x de ]0;+;)[, f'(x)= (g(x)/x²)). En déduire le signe de f'(x) sur ]0;+;)[.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4) Tracer C et D.



EXERCICE

Partie A:
1) g(x)=2x²+1-lnx sur ]0;+;)[
g'(x)=4x-(1/x)
g'(x)=(4x²-1/x)

Signe de g'(x):
g'(x);)0
(4x²-1/x);)0 x;)0 car valeure interdite au dénominateur.
Sur R \ (0) 4x²-1;)0
x²;)(1/4)

On a donc comme solutions: x;)(1/2) et x;)(-1/2).


0 (1/2) +;)

4x²-1 - 0 +

x +

g'(x) - 0 +

g(x) décroissante croissante


g(1/2)= (3/2)- ln (1/2)


2) Signe de g(x) sur ]0;+;)[

La fonction g(x) atteint un minimum de (1/2) sur l'internvalle donné se
minimum étant (3/2)-ln(1/2)>0.
Donc g(x)>0 car son minimum est strictement positif.


PARTIE B:

1) a)

f(x)= 2x+(lnx/x)
f(x)= 2x + lnx * (1/x)

lim 2x=0
x;)0

lim lnx=-;) donc lim f(x) = -;)
x;)0 x;)0

lim (1/x)=+;)
x;)0

Si lim f(x) = -;) , alors on dit que la droite d'équation x=0 est une
x;)0
asymptote verticale à la courbe représentant la fonction f.

b)

lim 2x = +;)
x;)+;)
donc lim f(x)= +;)
lim (lnx/x)= 0 x;)+;)
x;)+;)


2) a) et b) Pas réussit à répondre.


3) a)

Montrer que f'(x)= (g(x)/x²):

f'(x)= 2+((1/x)*x-(lnx)*1)/x²))
= ((2x²+1/x²)-(lnx/x²))
= (2x²+1-lnx/x²)

g(x)/x²=(2x²+1-lnx/x²)= f'(x).

On a bien f'(x)= g(x)/x²

Le signe de f'(x) est strictement positif sur ]0;+;)[ car on a x² au dénominateur.

b)

x 0 +;)

f'(x) +

f(x) -;) croissante +;)


aprés il faut tracer C et D.

[oscar]

Bonjour

g' (x) = ( 4x² -1)/x
Racines -1 hors domaine ; 1/2 et o ( interdite)
Tableau
x.[0...........1/2...............+OO
g'_|---------0++++++++++
g |.DECROISm CROISSANTE

m: minimum à calculer

[manudu33]

-1/2 est hors domaine mais 1/2 n'est pas interdite il n'y as que 0 non??
et pour le m je l'ai calculer g(1/2) non.?

Merci de ta réponse et pour le reste principalement pour la 2) a et b) que j'ai pas du tout réussit.

[Huppasacee]

Bonsoir

pour montrer que la droite d'équation y = ax + b est asymptote de la courbe C,

il faut montrer que

limite quand x tend vers l'infini de
f(x) - (ax+b) est nulle

et qu'elle est toujours soit positive , soit négative ( du moins à partir d'une valeur de x qui pourra être déterminée )

la position relative sera donnée par le signe de cette différence
si la différence est positive , alors la courbe est au dessus de son asymptote

[manudu33]

Bonjour,

Je ne comprend pas comment faire pour la question 2) b) merci pour la 2)a).

[Huppasacee]

Si tu as fait la 2a, la 2b ne devrait pas te poser de difficulté

f(x) = 2x + lnx/x courbe C

y = 2x droite D

f(x) - 2x = lnx/x

or d'après les puissances comparées, lim quand x tend vers + inf de lnx/x = 0, avec lnx > 0 pour x > 1 donc lnx/x est positif

nous avons donc bien une asymptote

mais C est elle au dessus ou en dessous de son asymptote ?

La réponse est explicite dans la réponse à 2 a