Asymptote à une courbe

[Lith]

Bonjour à tous
Je rentre en septembre en classe de MP, et travaillant un des exercices de révisions qui me sont
proposés, je me heurte à des difficultés :
La fonction xarctan(1+x) possède-telle des asymptotes ? Si oui, position par rapport à la courbe

J'ai procédé de manière classique, CàD :
Lim arctan(1+x) = Pi/2 donc il y'a asymptote
x->+oo

Mais la limite de xarctan(1+x) - Pi/2x (pour trouver une ordonnée à l'origine à ma droite asymptote) est
indéfinie. Cela dit, je n'ai pas besoin explicitement de ce coefficient, mais à ce moment-là pour déterminer la position par rapport à la courbe de l'asymptote, je ne sais pas comment procéder. Un ami m'a conseillé d'utiliser un argument de concavité, seulement j'ai beau tenter de le tourner comme je veux je n'arrive pas à en trouver un valable
Peut-être connaîtriez-vous des méthodes différentes de parvenir à mes fins ?

[leon1789]

Pose x=1/y en faisant tendre y vers 0, et étudie g(y) = arctan(1+1/y)

Pour obtenir un développement de g en 0, on dérive g sur
et on voit vers quoi tend g'(y) quand y tend vers 0.
Ainsi tu pourras montrer qu'il y a une asymptote et trouver son équation.

Avec un développement plus poussé de g, tu trouveras la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

[Lith]

Merci pour cette réponse rapide, mais ne devrait-on pas alors regarder le DL de 1/y*arctan(1+1/y) et donc déterminer la dérivée de cette fonction plutôt ? Ou alors je suis passé à côté de quelque-chose ?

[Lith]

Pose x=1/y en faisant tendre y vers 0, et étudie g(y) = arctan(1+1/y)

Désolé pour le double-message, mais pour être plus clair, je trouve ici g(y) = Pi/2 - 1/y + O(1/y^2), d'où f(x) = Pi/2*x - x^2 + O(x^3), ce qui me semble étrange. Je n'ai jamais jusqu'aujourd'hui utilisé de DL pour déterminer une asymptote, peut-être ai-je mal procédé

[leon1789]

Merci pour cette réponse rapide, mais ne devrait-on pas alors regarder le DL de 1/y*arctan(1+1/y) et donc déterminer la dérivée de cette fonction plutôt ? Ou alors je suis passé à côté de quelque-chose ?

On veut la limite de 1/y*arctan(1+1/y), donc il n'y a pas à calculer sa dérivée a priori

c'est bien de arctan(1+1/y) dont je parlais.

[leon1789]

Désolé pour le double-message, mais pour être plus clair, je trouve ici g(y) = Pi/2 - 1/y + O(1/y^2), d'où f(x) = Pi/2*x - x^2 + O(x^3), ce qui me semble étrange. Je n'ai jamais jusqu'aujourd'hui utilisé de DL pour déterminer une asymptote, peut-être ai-je mal procédé

C'est g(y) = Pi/2 - y + O(y^2) !

d'où f(x) = Pi/2 .x -1 + O(1/x) et tu obtiens l'asymptote quand x tend vers +oo .


Pour avoir la position de la courbe, il te faut un développement plus important.

Par ailleurs, ce que je te fais faire utilise des théorèmes peut-être hors programme car la fonction dont tu fais un DL n'est pas vraiment définie en 0 (prolongement par continuité, ok!) ; idem pour la dérivée (!), la dérivée seconde (!!), ...

[Lith]

Merci beaucoup, en effet j'ai fait une erreur bête !

[Lith]

Et pour ce qui est des prolongements par continuité, on a étudié, donc c'est tout bon !

[deltab]

Bonjour à tous
Je rentre en septembre en classe de MP, et travaillant un des exercices de révisions qui me sont
proposés, je me heurte à des difficultés

Si c'est des exercices de classe MP, c'est normal que tu trouves des difficultés (et ce serait étonnant que tu n'en trouves pas), leurs solutions font intervenir des outils que tu ne possèdes peut-être pas encore.