Angles d'un triangle

[alex2601]

Bonjour à tous,

Je suis en train de préparer mon examen d'entrée et j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre, voici l’énoncé:
Déterminer les angles du triangle ABC sachant que  = 3 angle B et que |BC|= 2|AC|.
J'avais pensé faire un système à 3 inconnues avec x y et z les angles du triangle j'ai donc deux équations. Il me manquerait donc un angle. Est-ce qu'il y a moyen de le trouver avec l'information de longueur?

Voila si quelqu'un a une idée de piste, un théorème à utiliser ou un truc comme ça pour que je puisse démarrer ce serait bien (je ne vous demande pas bien évidement de le résoudre pour moi).

Merci d'avance.

[Dlzlogic]

Bonjour, connaissez-vous la relation des sinus dans un triangle quelconque ?

[alex2601]

c'est bien a/sin = b/sinB = c/sinC = 2 rayon du cercle circonscrit?

j'y avais déjà penser mais du coup j'ai 4 inconnues et 3 équations non? vu qu'on ne connaît pas de relations avec C

[Dlzlogic]

Faites une figure, oubliez le rayon et faites un peu de trigo.
A l'occasion, montrez ce que vous avez déjà fait.

[chan79]

Faites une figure, oubliez le rayon et faites un peu de trigo.
A l'occasion, montrez ce que vous avez déjà fait.

Salut Dlzlogic
Oui, faire la figure et placer le milieu I de [BC].
Il y a un triangle équilatéral qui se cache ...

[alex2601]

voila j'ai un peu avancer après je reste bloquer sur un -2sin (4A/3) = sin A
voila une photo de ou j'en suis

merci pour votre aide

[chan79]

CAI est isocèle
Pose et



Fais la somme des angles du triangle ABI; tu dois trouver p=2m puis que ACI est équilatéral

[Dlzlogic]

Bonjour Chan,
C'est vrai que ACI est équilatéral, mais je n'ai pas vu la démo.
D'ailleurs, je ne suis pas sûr qu'on puisse le montrer avec un seul raisonnement géométrique. En tout cas, j'y suis pas arrivé.

[chan79]

Bonjour Chan,
C'est vrai que ACI est équilatéral, mais je n'ai pas vu la démo.
D'ailleurs, je ne suis pas sûr qu'on puisse le montrer avec un seul raisonnement géométrique. En tout cas, j'y suis pas arrivé.

Comme p=2m, on a 3m-p=m donc AIB est isocèle de sommet I et donc IB=IA=IC=CA

[alex2601]

nickel merci beaucoup pour la grande aide je sais pas si vous avez fait l'exercice j'ai trouver pi/3 pour l'angle C, pi/2 pour l'angle A et pi/6 pour l'angle B

[Dlzlogic]

Comme p=2m, on a 3m-p=m donc AIB est isocèle de sommet I et donc IB=IA=IC=CA

Oui, OK, manifestement, je vieillis.
Mais je n'ai passé que 2 mn avec ma solution trigo.
[HS] Y'en a un qui va être content, il va pouvoir me déclarer Hors Service de mon propre aveu[/HS]

[alex2601]

Oui, OK, manifestement, je vieillis.
Mais je n'ai passé que 2 mn avec ma solution trigo.

vous avez fait comment avec la solution trigo?
êtes-vous partit de la relation entre les sinus et les longueurs des côtés?

[Dlzlogic]

On écrit la relation entre deux côtés et et les 2 angles opposés.
On obtient une relation avec sin(3a) et sin(a).
On exprime sin(3a) en fonction de sin(a) et on obtient tout de suite
sin(a) * (1-4sin²(a)) = 0
solution facile sin(a)=1/2.

[alex2601]

On écrit la relation entre deux côtés et et les 2 angles opposés.
On obtient une relation avec sin(3a) et sin(a).
On exprime sin(3a) en fonction de sin(a) et on obtient tout de suite
sin(a) * (1-4sin²(a)) = 0
solution facile sin(a)=1/2.

je ne vois pas comment vous exprimez sin(3a) en fonction de sin(a) ni comment vous arrivez à la solution finale
quand je le fait j'ai 2sin(a)=sin(3a) et je n'arrive pas à le résoudre. faut-il développer le sin(3a) avec sin(a+2a) puis les termes en 2a refaire de même?
merci pour votre aide et désolé pour toutes ces questions

[chan79]

On écrit la relation entre deux côtés et et les 2 angles opposés.
On obtient une relation avec sin(3a) et sin(a).
On exprime sin(3a) en fonction de sin(a) et on obtient tout de suite
sin(a) * (1-4sin²(a)) = 0
solution facile sin(a)=1/2.

En fait, au vu des hypothèses, il est plus naturel d'utiliser ta méthode, même s'il y a un peu de calcul

[Black Jack]

je ne vois pas comment vous exprimez sin(3a) en fonction de sin(a) ni comment vous arrivez à la solution finale
quand je le fait j'ai 2sin(a)=sin(3a) et je n'arrive pas à le résoudre. faut-il développer le sin(3a) avec sin(a+2a) puis les termes en 2a refaire de même?
merci pour votre aide et désolé pour toutes ces questions

sin(a)/BC = sin(b)/AC
sin(a)/(2.AC) = sin(b)/AC

sin(a) = 2.sin(b)
a + b + c = Pi
a = 3b

sin(3b) = 2.sin(b)
Et comme sin(3b) = 3.sin(b) - 4sin³(b) et que sin(b) ne peut pas être nul ... on trouve quasi immédiatement b = Pi/6

et les autres angles dans la foulée par a = 3b et puis c = Pi - a - b

...
*****
Une démo parmi plein d'autres pour sin(3b) = 3.sin(b) - 4sin³(b)

sin(3b) = sin(b+2b) = sin(b).cos(2b) + cos(b).sin(2b)

avec cos(2b) = cos(b+b) = cos²(b) - sin²(b) = (1-sin²(b)) - sin²(b) = 1 - 2sin²(b)
et avec sin(2b) = 2.sin(b).cos(b)

--> sin(3b) = sin(b).(1-2sin²(b)) + 2.cos(b).(sin(b).cos(b))
sin(3b) = sin(b) - 2sin³(b)) + 2.sin(b).cos²(b)
sin(3b) = sin(b) - 2sin³(b)) + 2.sin(b).(1-sin²(b))
sin(3b) = 3.sin(b) - 4.sin³(b)

:zen:

[alex2601]

sin(a)/BC = sin(b)/AC
sin(a)/(2.AC) = sin(b)/AC

sin(a) = 2.sin(b)
a + b + c = Pi
a = 3b

sin(3b) = 2.sin(b)
Et comme sin(3b) = 3.sin(b) - 4sin³(b) et que sin(b) ne peut pas être nul ... on trouve quasi immédiatement b = Pi/6

et les autres angles dans la foulée par a = 3b et puis c = Pi - a - b

...
*****
Une démo parmi plein d'autres pour sin(3b) = 3.sin(b) - 4sin³(b)

sin(3b) = sin(b+2b) = sin(b).cos(2b) + cos(b).sin(2b)

avec cos(2b) = cos(b+b) = cos²(b) - sin²(b) = (1-sin²(b)) - sin²(b) = 1 - 2sin²(b)
et avec sin(2b) = 2.sin(b).cos(b)

--> sin(3b) = sin(b).(1-2sin²(b)) + 2.cos(b).(sin(b).cos(b))
sin(3b) = sin(b) - 2sin³(b)) + 2.sin(b).cos²(b)
sin(3b) = sin(b) - 2sin³(b)) + 2.sin(b).(1-sin²(b))
sin(3b) = 3.sin(b) - 4.sin³(b)

:zen:

merci bien je ne comprenais pas d'ou venais le sin3b = 3 sinb - 4sin³b, je n'étais pas allé assez loin dans mon développement.
Merci encore pour votre aide à tous les deux.