Equations non linéaires

[ellewan]

Bonjour,

je travaille sur la chute libre avec résistance de l'air. J'ai deux équations: la vitesse ainsi que la hauteur.

z(t)= (vmax²/g)*ln(cosh(t*g/vmax))
v(t)= vmax*tanh(t*g/vmax)

vmax étant la vitesse maximale que peut atteindre l'objet lors de sa chute.
Je voudrais obtenir une équation liant z et v sans vmax. Donc en fait cela revient à isoler vmax dans une des équations et à le remplacer dans la seconde. Malheureusement je n'y arrive pas.
J'ai déjà passé un bon moment dessus sans succès. J'ai pensé utiliser Matlab mais pareil je n'y suis pas arrivé. Comme les équations ne sont pas linéaires, je n'arrive pas à isoler vmax.

Si qn à une idée vous me seriez d'un grand secours..

[Robic]

Tu penses que c'est possible ?

Je suis pessimiste : dans la première équation vmax intervient à la puissance deux ainsi que dans un logarithme, on ne peut donc pas les regrouper ; dans la deuxième équation vmax intervient à la puissance un ainsi que dans des exponentielles (à cause du tanh), on ne peut donc pas non plus les regrouper.

[arnaud32]

1-th^²=1/ch²

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique



...

[ellewan]

J'ai tenté manuellement de tout exprimer en exponentielle mais j'étais bloqué aussi à ce moment là parce que j'avais à la fois du vmax dans l'exp et "normalement" si je puis dire.

[Robic]

Ben oui : on ne peut pas regrouper x et e^x. Par exemple si on a y = x + e^x, eh bien on ne peut pas écrire x = quelque chose en fonction de y (ici c'est vmax qui joue le rôle de x).

Arnaud32 : tu devrais faire des phrases, je ne comprends pas où tu veux en venir. (C'est d'ailleurs un principe de rédaction : on ne doit jamais balancer des calculs tout seuls...)

[DamX]

Ben oui : on ne peut pas regrouper x et e^x. Par exemple si on a y = x + e^x, eh bien on ne peut pas écrire x = quelque chose en fonction de y (ici c'est vmax qui joue le rôle de x).

Arnaud32 : tu devrais faire des phrases, je ne comprends pas où tu veux en venir. (C'est d'ailleurs un principe de rédaction : on ne doit jamais balancer des calculs tout seuls...)

Bonjour,

Il a exposé trois relations qui permettent de conclure facilement quant à une relation entre z et v, mais qui fera toujours apparaitre vmax. En Meme temps je ne vois pas bien pourquoi vouloir éliminer Vmax qui a l'air d'être une constante en entrée du problème. On cherche en général à éliminer t pour avoir la trajectoire dans l'espace des phases, ce que permettent les indications d'arnaud32.

Damien

[ellewan]

Le fait est que vmax dépend dépend de la résistance dans l'air, et du coefficient cv ainsi que de l'objet qui chute. Or il ne s'agit pas d'objet parfait comme une sphère par exemple mais plutôt comme une pierre. Et cela fait beaucoup d'approximation. Or j'ai besoin d'un résultat assez précis. Voilà pourquoi j'aurai aimé trouver une relation directe entre v et z.

[DamX]

Le fait est que vmax dépend dépend de la résistance dans l'air, et du coefficient cv ainsi que de l'objet qui chute. Or il ne s'agit pas d'objet parfait comme une sphère par exemple mais plutôt comme une pierre. Et cela fait beaucoup d'approximation. Or j'ai besoin d'un résultat assez précis. Voilà pourquoi j'aurai aimé trouver une relation directe entre v et z.

D'accord.
La trajectoire dépendant de des frottements, on ne pourra pas exprimer v en fonction de z sans faire intervenir vmax (ou une autre variable liée aux frottements). Sinon cela voudrait dire que la trajectoire est indépendante des frottements.
Pour gagner en précision, soit il faut avoir une bonne estimation de vmax, soit il faut revoir le modèle avec des variables plus fondamentales (comme le coefficient de frottement cv justement), avec une expression des forces de frottement réaliste (linéaire à faible vitesse, puis plus forte..) mais qui aboutira plus probablement à des équations inextricables et nécessitera une résolution numérique et non analytique. Approximation permettant la resolution analytique ou précision avec resolution numérique il faut choisir je pense

Damien

[spike0789]

Bonjour,

Est-ce qu'on a des précisions sur Vmax? Comme par exemple V<

[ellewan]

J'avais pensé au développement limité mais je pensais que la valeur n'était pas assez faible. Pour la vitesse j'ai des valeurs pour l'instant qui atteignent 62 km/h et pour vmax je pense qu'elle est proche de 170 km/h (mon problème étant que cette valeur m'est pas précise).

[ellewan]

Pensez-vous qu'il serait possible avec Labview de déterminer numériquement la valeur de vmax?